起伏地表条件下的直流电场有限差分数值模拟

论文摘要

电阻率法是矿体定位的有效手段,但随着对目标认识程度的提高和目标本身的复杂化,电阻率法受到了一定程度的困难和挑战,特别是复杂地表问题。随着生产实践的发展,露头和浅层矿产的不断开发,相对容易勘探开发的矿产资源正在逐步枯竭。寻找中深部隐伏矿藏的课题越来越受到人们的重视,而我国的矿产资源大部分分布在山区,这种地形起伏多变的地貌特征就成了电法勘探中必须面对的困难。在很多重大的国家工程建设中,如水库大坝的选址建设,铁路铺设的前期勘探,隧道的施工等也都面临着起伏地形的问题。起伏地形对电阻率法有严重的影响,干扰视电阻率曲线的正常形态,致使解释困难,降低解释精度甚至给出错误结论。针对这些问题,研究起伏地形下的电场分布及地形对视电阻率的影响是非常有意义的。这将对改善电阻率法的解释和提高勘探精度有很大的帮助。早期采用物理模拟和理论分析,取得了一些有意义的结果和认识,然而物理模拟受成本高、尺度匹配等问题的限制,而理论分析只适用于少数简单的模型。从而,在数字计算机得到广泛应用之后数值模拟就成了研究起伏地表问题的主要方法。到目前为止,用于处理直流电场的数值方法主要有积分方程法、边界元法、有限元法、有限体积法和有限差分法。其中积分方程法和边界元法属于非网格法,有限元法、有限体积法和有限差分属于网格法。非网格法具有对曲边界适应性强和计算量小的特点,但相对网格法,其对模型的适应性差。网格法中有限元法和有限体积法对曲边界同样具有较强的适应能力,而传统的有限差分法则对曲边界的处理较为困难。虽然在处理曲边界的能力上有限元法和有限体积法均要优于传统的有限差分法,但有限元法和有限体积法是通过复杂的网格剖分逼近曲边界来实现其较强的曲边界处理能力。众所周知复杂的网格剖分费时费力,且生成的网格质量对数值计算有直接的影响。为了处理起伏地表,且避免有限元和有限体积法复杂的网格剖分,本文借鉴地震勘探、流体力学和数值热传导等领域中的研究成果,引入经典的转移法、不等距有限差分法和现代的鬼点法对直流电场进行笛卡尔网格下的有限差分法数值模拟,以此提高有限差分法对曲边界的适应能力。其中转移法是在地表附近用非正则内点近似起伏地表边界上的点,并在非正则内点上实现边界条件。本文实现了2维、2.5维和3维模型的转移法数值模拟,并重点阐述了以下几个问题。①非正则内点上离散格式的推导。②源到边界的方向和边界外法线方向夹角余弦值的求取以及P*处法线方向的求取。③非正则内点上背景场的选取。④电源位置问题。⑤起伏地形光滑处理。⑥采用最优化原理选取波数个数和波数值。⑦精度分析。不等距有限差分法是在非正则内点采用不等距差分格式,在地表边界点上直接实现边界条件。这样处理避免了转移法中用非正则内点对地表边界的近似。不等距有限差分法主要涉及到的问题有以下几个。①地表边界点上边界条件的实现。②不等距差分格式中网格间距阀门值对地表电位和视电阻率的影响。③精度分析。鬼点法是采用外推手段来外推地表以上鬼点的电位值,从而让鬼点参与非正则内点的等距差分格式,避免了非正则内点上使用不等距差分格式的弊端。鬼点法最显著的特点是引入了虚拟的鬼点,使非正内点和正则内点采用了统一的差分格式。在鬼点法中主要阐述了以下几个问题：①鬼点外推。②不同次数多项式外推对电位和视电阻率精度的影响。除起伏地表问题外,本文还讨论了涉及计算效率的线性方程的求解问题。在有限差分数值模拟中,计算时间主要集中在线性方程组求解的开销上,因此提高线性方程组求解的效率关系到有限差分法的实用性。本文采用了完全多重网格法,通过在地表水平和地表凹陷情况下分别采用完全多重网格法和超松驰迭代法的对比计算,表明完全多重网格法在计算效率高于超松驰迭代法一倍的情况下计算精度还优于超松驰法,因此可以说完全多重网格法是今后直流电法数值模拟中求解线性方程组的重要方法。通过以上三种基于笛卡尔网格的有限差分法对起伏地表直流电场的数值模拟得到了以下几点认识。①基于笛卡尔网格剖分解决直流电场数值模拟中的起伏地表问题是可行的。转移法、不等距有限差分法和鬼点法均能处理起伏地表问题,其计算精度能满足计算要求。②基于笛卡尔网格的有限差分法避免了有限元和有限体积法处理曲边界时的复杂网格剖分。笛卡尔网格简化了网格剖分过程和节省了网格节点位置的存储空间。③不等距有限差分法中网格间距阀门值对视电阻率光滑度有影响,阀门值不宜取值过大。④基于笛卡尔网格有限差分法在曲边界上的精度是可以提高的。采用不等距有限差分法和鬼点法均能提高起伏地表处离散格式的精度,从而提高整个电位场数值模拟的精度。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第1章 绪论
• 1.1 研究意义和应用价值
• 1.2 直流电场数值模拟研究现状
• 1.3 研究内容及章节
• 1.4 主要技术创新
• 第2章 电位方程的有限差分原理
• 2.1 电位基本方程
• 2.1.1 2维电位方程
• 2.1.2 2.5维电位方程
• 2.1.3 3维电位方程
• 2.2 网格剖分
• 2.3 电位方程的差分格式
• 2.3.1 2维电位方程差分格式
• 2.3.2 2.5维电位方程差分格式
• 2.3.3 3 维电位方程差分格式
• 2.4 异常场算法
• 2.4.1 2维异常场差分格式
• 2.4.2 2.5维异常场差分格式
• 2.4.3 3维异常场差分格式
• 2.4.4 背景场选取
• 第3章 转移法
• 3.1 2维转移法
• 3.1.1 网格节点的存储和索引
• 3.1.2 起伏地表处理
• 3.1.3 电源位置处理
• 3.1.4 地表边界点的电位值
• 3.1.5 算法验证
• 3.1.6 数值计算实例
• 3.2 2.5维转移法
• 3.2.1 地表边界处理
• 3.2.2 波数的选取
• 3.2.3 精度分析
• 3.2.4 2.5维数值例子
• 3.3 3维转移法
• 3.3.1 3维转移法实现过程
• 3.3.2 精度分析
• 3.3.3 数值例子
• 第4章 不等距有限差分法
• 4.1 起伏边界处理
• 4.1.1 非正则内点
• 4.1.2 地表边界点
• 4.2 算法验证
• 4.3 阀门值对视电阻率的影响
• 4.4 计算实例
• 第5章 鬼点法
• 5.1 鬼点法的基本思想
• 5.2 鬼点外推
• 5.2.1 法向一维外推
• 5.2.2 二维多项式外推
• 5.3 地表电位
• 5.4 算法验证
• 5.4.1 法向一次多项式
• 5.4.2 法向二次多项式
• 5.5 计算实例
• 第6章 完全多重网格法在起伏地表直流电场数值模拟中的应用
• 6.1 完全多重网格法在直流电场数值模拟中的应用
• 6.1.1 直流电场数值模拟采用完全多重网格的基本步骤
• 6.1.2 完全多重网格法和超松驰法对比
• 第7章 三种数值模拟方法的对比
• 7.1 地表处理的方式对比
• 7.2 精度对比
• 7.3 计算效率对比
• 第8章 结论
• 参考文献
• 附录1 保角变换
• 附录2 最优化原理求取波数
• 附录3 多重网格法
• 作者简介及在学期间所取得的科研成果
• 致谢