求解声波区域反散射问题的几种数值解法

论文摘要

反问题的研究是数学物理中一个较新的研究领域。声波反散射问题是一类典型的反问题,它在雷达和声纳等领域有广泛的应用前景。声波反散射问题被证明是不适定的,其求解起源于20世纪60年代中期Tikhonov的基础性论文。在这些论文中Tikhonov提出了求解不适定问题的方法—Tikhonov正则化方法。因此,这一方法被广泛的应用于声波反散射问题上。其中,声波散射问题是在入射波和散射区域等已知的条件下,求解其散射波和散射波对应的远场模式。反散射问题则是由散射方程的解来确定其散射区域或其它定解条件。本文对声波正散射问题和反散射问题都进行了研究,得到了很好的理论结果和数值结果。其中,反散射问题主要研究散射区域的反演。本文丰要作了以下工作: 1.对于较简单的积分方程反问题—线性矩问题,在Backus-Gilbert方法及修正方法的基础上,对修正方法进行了完善,并通过误差分析和数值例子表明了方法的易行性及精确性。 2.求解Dirichlet边界条件和阻尼边界条件下的声波正散射问题,对其解分别用双层位势和单层位势表示,并举出了数值例子进行求解,它是反问题研究的基础。 3.提出一种求解软散射区域的组合方法,它在波数k>0时是恒成立的,并给出了收敛性证明及数值例子。 4.用远场模式的完全及不完全数据对声波阻尼区域进行了反演,并进行了解的收敛性证明,举出了具有代表性的数值例子。 5.线性抽样（Linear Sampling）方法是求解声波反散射问题的最新方法,但是它的理论还很不完善。本文对阻尼区域反问题应用线性抽样方法进行求解,并对其解的收敛性及解的性质进行了理论上的证明,使得此方法得以完善,并通过数值例子表明了方法的易行性及定理的正确性。 6.提出近场数据的Linear Sampling方法,对其解的收敛性及其性质进行了分析,得出了与远场数据反演时相同的结论,并举出了数值例子。

论文目录

• 第一章 绪论
• 1.1 反问题介绍
• 1.2 声波反散射问题的现状
• 1.3 声波障碍反散射问题
• 1.4 本文主要内容及安排
• 第二章 不适定问题及线性矩问题的解法
• 2.1 求解不适定问题的正则化方法
• 2.1.1 正则化理论
• 2.1.2 Tikhonov正则化方法
• 2.1.3 投影方法
• 2.2 线性矩问题
• 2.2.1 B-G方法求解线性矩问题
• 2.2.2 修正方法及其完善
• 2.2.3 误差分析
• 第三章 声波正散射问题的数值解法
• 3.1 声波正散射问题的提法及位势理论
• 3.1.1 声波正散射问题的提法
• 3.1.2 位势理论
• 3.2 Dirichlet边值问题的数值解法
• 3.2.1 边界积分方程
• 3.2.2 计算方法
• 3.2.3 数值例子
• 3.3 阻尼边值问题的数值解法
• 3.3.1 边界积分方程
• 3.3.2 计算方法
• 3.3.3 数值例子
• 第四章 声波反散射问题
• 4.1 声波反散射问题的提法及Herglotz波函数理论
• 4.1.1 声波反散射问题的提法
• 4.1.2 Herglotz波函数理论
• 4.2 反演声波散射区域的一种组合方法
• 4.2.1 重建方法的数学分析
• 4.2.2 计算方法与数值例子
• 4.3 利用远场模式反演声波阻尼区域
• 4.3.1 重建方法的数学分析
• 4.3.2 计算方法与数值例子
• 4.4 利用Linear Sampling方法反演声波阻尼区域
• 4.4.1 阻尼区域反问题
• 4.4.2 计算方法与数值例子
• 4.5 近场数据的Linear Sampling方法
• 4.5.1 用近场数据反演散射区域
• 致谢
• 参考文献
• 攻读硕士期间完成和录用相关文章列表