论文题目: 局部域上的算术性质的研究
论文类型: 博士论文
论文专业: 基础数学
作者: 魏达盛
导师: 徐飞
关键词: 函数,扩张
文献来源: 中国科学技术大学
发表年度: 2005
论文摘要: 数论的研究对象是整数，整数在人们的印象中无疑是简单的，但如果直接研究它却有着意想不到的困难。因而必须将它扩大，在更大更广的平台上来研究。在整数产生以后，由于实际问题的需要，人们想到了分数，就是有理数域。最初，人们以为用有理数就能表示自然界的一切，譬如说线段的长度等。但是，随着毕达哥拉斯学派发现了勾股定理，最终导致了第一个非有理数“21/2”的产生，这迫使人们将有理数扩大到实数，有理数域的第一个完备化：实数域也就随之产生了。后来，由于解多项式方程的需要，人们引进“（-1）1/2”，得到了第一个代数闭域C：复数域，它是代数数域Q(（-1）1/2)的完备化。在其后的几百年里，人们的思维一直停留在这两个域上。直到上世纪初期，人们才找到了有理数域的其他完备化Qp，它有别于实数域和复数域，是完全不连通的，也没有序结构。 在几何中，人们总是通过局部来研究整体，透过直观知道，这是一件非常自然的事情。事实上，在数论中，用局部来控制整体也是一种非常重要的方法。不像几何中那么直观，对代数数域，R，C以及其他的一些非阿基米德局部域就是它的局部，如R和Qp就是Q的所有局部。虽然说想用局部来完全控制整体是一件不切实际的幻想，但这并不妨碍局部域的重要性。事实上局部域本身也是一个非常有趣的研究对象。而且局部之间还有紧密的联系，包括经典的二次互反律在内的许多互反律，也反应了许多的整体性质。本文就是研究了局部域的一些性质，并最后对整体域算术问题做了一些尝试。 由J．M．Fontain的理论，我们知道，特征0的局部域与特征p的局部域之间有非常重要的联系。他证明了这样一个定理： Gal(（?）／Kcyc)（?）Gal(k（（t））sep／k（（t））)在这里，k是一个特征p的perfect域，W（k）是k的Witt-环，K是W（k）的分式域，（?）是K的一个固定的代数闭包，Kcyc是K添加所有的单位根。在我们的研究中，特征0的问题与特征p的问题经常是相互转化的，如在第一部分，我们必须将特征p的域提升至特征0；而在第二部分，我们为了找到最大Abel扩张的一组基，则要用到上面的J．M．Fontain的定理，将特征0的问题转化到特征p。 文章的第一部分，研究的是特征p的情形，是在刘春雷教授的指导下完成的。主要研究n-维环面在Witt coverings下的L-函数，我
论文目录:
致谢
摘要
Abstract
Chapter 1 The L-functions of Witt coverings
§1.1 Introduction
§1.2 The Artin-Hasse exponential series
§1.3 Functions from the Artin-Hasse exponential series
§1.4 The p-adic trace formula
§1.5 The total degree of the L-function
§1.6 The acyclicity of the p-adic complex
§1.7 The complex obtained by reduction
§1.8 The Newton polygon of the L-function
§1.9 The space L(b,c)
§1.10 The weights of the L-function
§1.11 Applications to other situations
Chapter 2 The Reciprocity Map for the Higher Maximal Abelian Extensions of Local Fields
§2.1 Introduction
§2.2 Tame case
§2.3 Wild case, n=1
§2.4 Wild case, n>1
§2.5 Another Proof by Cohomology Method
Chapter 3 The Number of S_n-Extensions and An-extensions of Local Fields
§3.1 Introduction
§3.2 The Number of the Galois and Tamely ramify Extensions of F
§3.3 The Number of S_n-Extensions and A_n-extensions of F
Chapter 4 Sums of Squares in Cyclotomic Integral rings
§4.1 Introduction
§4.2 Some Lemmas
§4.3 Proof of Theorem 1.1.1
参考文献
发布时间: 2007-03-13
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