Schr（？）dinger-Virasoro李代数与非阶化Virasoro-like李代数的结构与表示

论文摘要

无限维李代数的结构和表示一直是李理论研究的热点问题之一。本文主要对几类无限维李代数的表示和结构进行了研究。这几类无限维李代数都与理论物理、量子场论及统计力学等学科有着深刻的内在联系,并与Virasoro代数密切相关。本文主要分以下几部分:第一部分:主要研究了一类无限维非阶化Virasoro-like李代数L的表示。这类李代数（无中心扩张的情况）是在上世纪八十年代作为拟多项式环的一阶微分算子代数被引入的,九十年代在理论物理的广义对称性研究中产生了同样的代数结构。由于非阶化李代数本身结构的复杂性,使得对它们的结构和表示的研究变得比阶化的情形要困难和复杂很多。我们首先证明了在一定条件下L的不可约模或是GHW模,或是一致有界模。然后,对L的一类一致有界模给出了完全分类,证明了它有且只有七种情况:Aα,λ,μ,A0,λ,μ,A1,λ,μ,A1,0,λ,μ,B1,0,λ,μ,A0,1,λ,μ,A0,1,λ,μ。最后,我们讨论了L的一类截断子代数W,证明了W没有非平凡的中心扩张。第二部分:研究了Schr（?）dinger-Virasoro李代数及其扩张。M.Henkel引入了Schr（?）dinger-Virasoro李代数的概念,它在数学物理和统计力学中具有广泛的应用。近些年,在具体的物理研究背景下,J.Unterberger定义了一类Schr（?）dinger-Virasoro李代数的扩张,称之为扩张Schr（?）dinger-Virasoro李代数。目前,关于扩张Schr（?）dinger-Virasoro李代数的结构的许多问题还不清楚。首先,我们证明了Schr（?）dinger-Virasoro李代数sb的泛中心扩张（?）的不可约权模或者是最高权模,或者是最低权模,或者是一致有界模。其次,确定了扩张Schr（?）dinger-Virasoro李代数sbe的导子代数,证明了它的导子均为内导子,进一步说明了sbe是一类无限维完备李代数,并确定了sbe的泛中心扩张。最后,证明了sbe没有非平凡的不变双线性型,从而说明了它在Leibniz代数范畴中的泛中心扩张与它在李代数范畴中的泛中心扩张是一致的。第三部分:研究了一类由Witt代数和它的密度张量模构成的半直积W（a,b）及其中心扩张.这类李代数自然地出现在超弦理论中,它包含了我们所熟知的一些代数结构,如W（0,0）的泛中心扩张就是经典的扭Heisenberg-Virasoro代数。我们刻画了W（a,b）的导子代数,分类了全部的一维中心扩张。特别地,这一结果纠正了文[5]中的一个主要结果。最后,我们确定了W（a,b）的自同构群的结构。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第零章 绪论
• §0.1 背景
• §0.1.1 非阶化Vimsoro-like李代数
• §0.1.2 Schr（o|¨）dinger-Virasoro代数
• §0.1.3 W（a,b）型代数
• §0.2 本文的主要工作
• 第一章 预备知识
• §1.1 基本知识
• §1.2 Witt代数与Virasoro代数
• 第二章 非阶化Virasoro-like李代数
• §2.1 非阶化Vimsoro-like李代数L的GHW模
• §2.2 非阶化Vimsoro-like李代数L的一致有界模
• §2.3 定理2.2.4的证明
• §2.3.1 定理2.2.4的证明Ⅰ
• §2.3.2 定理2.2.4的证明Ⅱ
• §2.4 非阶化Vimsoro-like李代数W的中心扩张
• 第三章 Schr（o|¨）dinger-Virasoro李代数
• §3.1（?）的不可约表示
• e'>§3.2 扩张Schr（o|¨）dinger-Virasoro李代数sb_e
• e的导子代数Der（sb_e）'>§3.3 sb_e的导子代数Der（sb_e）
• e的泛中心扩张'>§3.4 sb_e的泛中心扩张
• e的自同构群Aut（sb_e）'>§3.5 sb_e的自同构群Aut（sb_e）
• e在Leibniz代数范畴中的泛中心扩张'>§3.6 sb_e在Leibniz代数范畴中的泛中心扩张
• 第四章 一类Virasoro代数的扩张W（a,b）
• §4.1 李代数W（a,b）的基本性质
• 2（W（a,b）,C）'>§4.2 W（a,b）的2-上同调群H²（W（a,b）,C）
• §4.3 W（a,b）的导子代数Der（W（a,b））
• §4.4 W（a,b）的自同构群Aut（W（a,b））
• 参考文献
• 附录一 致谢
• 附录二 作者读博士期间发表和录用论文情况