紧致Riemann对称空间的整体几何性质及其应用

论文摘要

本论文探讨了紧致Riemann对称空间的若干整体性质，并给出了其应用．它由两部分构成．在第一部分（即第二章和第三章）里，我们以Lie群Lie代数理论为工具，探求任一紧致不可约Riemann对称空间的切割迹与其所对应的限制根系的Cartan多面体之间的关系，得到定理1．[61][62]设（u，θ，<，>）为一不可约紧正交对称Lie代数，（?）为其所对应的紧致单连通Riemann对称空间，M=（?）／Γ为（?）的一个Clifford-Klein形式，其中Γ为Z?（（?））的子群．则这里Z?（（?））表示（?）上在（?）的左作用下的不动点构成的集合，其上有自然的群结构．Z?（（?））的所有子群，与（?）的所有Clifford-Klein形式存在一一对应的关系；因此所有紧致不可约Riemann对称空间M都可以写成（?）/Γ的形式．群Γ所对应的多面体PΓ，P′Γ定义为PΓ={x∈△：（x，ei）≤1/2（ei，ei）对任意满足（?）的i成立}；P′Γ={x∈PΓ：（x，ψ）=1或者存在一个满足（?）的j，使得（x，ej）=1/2（ej，ej）}．其中△为Cartan多面体，e1，…，el为△的顶点，（?）表示（?）上的指数映照．在此基础上我们计算了每一类型的紧致不可约Riemann对称空间的单一半径和直径，并把结果列在表3．4．1和表3．4．2中．特别地，我们有定理2．[61]设M为单连通紧致不可约Riemann对称空间，κ为M的截面曲率上界，则M的单一半径为πκ-1/2．在第二部分（第四章和第五章），我们的研究对象是一类特殊的紧致对称空间：（实）Grassmann流形．J．Jost和忻元龙[26]找到了Gn，m上的极大测地凸区域BJX（P0）；我们将构造BJX（P0）上的凸函数v和u，并对它们的Hessian给出了估计：定理3．[60]v，u是BJX（P0）（?）U（?）Gn，m上的凸函数．在{P∈U：v（P）≤2)上，我们有估计在{P∈U：u（P）≤2}．上，我们有估计其中p=min（n，m）．由此我们可以对欧氏空间的极小子流形（维数和余维数任意）给出曲率估计．利用这些估计，可以得到一系列几何结论，包括下列的Bernstein型定理：定理4．[59]设M为Rn+m的n维完备极小子流形，n≤6且m≥2．若M的Gauss像包含在Gn，m中一个半径为（?）/4π的测地球中，则M必为仿射线性子空间．定理5．[60]设M={（x，f（x））：x∈Rn}为由m个函数fα（x1，…，xn）给出的n维极小图，m≥2，n≤4．若则fα必为仿射线性函数，从而M必为仿射线性子空间．定理6．[59]设M为Rn+m的n维完备极小子流形，m≥2．若M的Gauss像包含在Gn，m中以P0为中心，半径为（?）/4π的测地球中，并且（（?）/4π-ρoγ）-1的增长可以控制：其中ρ表示Gn，m上从P0出发的距离函数，R是M上从任一点出发的欧氏距离．则M必为仿射线性子空间．定理7．[60]设M={（x，f（x））：x∈Rn)为由m个函数fα（x1，…，xn）给出的n维极小图，m≥2．若且（2-△f）-1=o(R4/2)，其中R2=|x|2+|f|2．则fα必为仿射线性函数，从而M必为仿射线性子空间．

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• 第二章 紧致不可约Riemann对称空间的切割迹与Cartan多面体的关系
• §2.1 Riemann局部对称空间的共轭点
• §2.2 单连通紧致Riemann对称空间的切割迹
• ?（（?））的若干性质'>§2.3 Z_?（（?））的若干性质
• §2.4 非单连通紧致不可约Riemann对称空间的切割迹
• 第三章 紧致不可约Riemann对称空间的单一半径和直径
• i的计算及其推论'>§3.1 关于e_i的计算及其推论
• Γ）和d（P_Γ）的计算'>§3.2 i（P_Γ）和d（P_Γ）的计算
• §3.3 最高限制根长度的平方
• §3.4 单一半径和直径的计算
• 第四章 Grassmann流形上的凸函数
• §4.1 Grassmann流形上的标准度量
• §4.2 测地凸区域及其上凸函数的Hessian估计
• §4.3 辅助函数的构造
• 第五章 高余维数极小子流形的曲率估计
• §5.1 Bochner型不等式
• §5.2 Gauss映照
• §5.3 Schoen-Simon-Yau型曲率估计
• §5.4 Ecker-Huisken型曲率估计
• §5.5 Bernstein型定理及其它几何结论
• 参考文献
• 致谢