运用“问题驱动”教学模式探究分类讨论问题
白学斌
摘要：本文主要是通过一种新的“问题驱动”教学模式来帮助学生对分类讨论问题的求解进行深入的研究，进而形成良好的思维习惯，提升解题能力。
关键词：问题驱动；教学模式；分类讨论
作者简介：白学斌，任教于陕西省西安市阎良区西飞一中。
在解答某些数学问题时，当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准加以分类，并逐类求解，然后综合各类结果得到整个问题的解答，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、各个击破，再积零为整的思想与归类整理的方法。在近年来的高考中它不但是热点，也是难点问题。学生在求解此类问题时往往显得比较盲目，不知是否要分类，什么时候该分？什么时候不分？如何去分类？按什么去分类？分类以后怎么办？是否要整合？等一系列的问题。针对学生在求解中存在问题和困惑，根据学生的认知实际，笔者尝试用“问题”来“驱动”学生的思维意识，思维过程，进而达到理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”的目的。
下面通过例题来展示如何用“问题驱动”来求解分类讨论问题。
例1解关于不等式>0(a为常数，a≠－)
分析：含参数的不等式，用序轴标根法求解。
问题1：对参数a是否进行分类讨论？若分类，为什么要分类？
答：进行分类讨论，因为参数a影响了根的大小，无法标出根的大小及2a＋1的符号。
两根－4a,6a在大小不能确定；2a＋1的正负号不能确定。
问题2：什么时候进行分类讨论呢？
答：什么时候影响到运算或结果的不确定性，什么时候进行分类讨论。
问题3：按什么标准进行分类讨论？
答：是什么影响到运算或结果的不确定性，按其进行分类讨论，
参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，应而我们按照2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小进行分类，故对参数a分四种情况a>0、a＝0、－<a<0、a<－分别加以讨论。
问题4：分类讨论的结果怎么办，合并还是不合并？
答：外界参量引发的分类讨论，结果不能合并，自身的分类讨论结果必须合并。
参数a影响的分类，而解的是关于的不等式，即分类讨论的对象与求解的对象不一致，因而结果不能合并。
解：由2a＋1>0时，a>－；由－4a<6a时，a>0。
所以分以下四种情况讨论：
当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；
当a＝0时，x>0，解得：x≠0；
当－<a<0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得:x<6a或x>－4a；
当a>－时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得：6a<x<－4a。
综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|x<－4a或x>6a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；
当－<a<0时，原不等式的解集为{x|x<6a或x>－4a}；
当a>－时，原不等式的解集为{x|6a<x<－4a}。
例2设函数f(x)=x2+｜x–a｜+1，x∈R。
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)求函数f(x)的最小值。
解(1)当a=0时，函数f(–x)=(–x)2+｜–x｜+1=f(x)，
此时f(x)为偶函数。
当a≠0时，f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2｜a｜+1f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a)
此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数。
（2）问题1：对参数a是否进行分类讨论？若分类，为什么要分类？
答：要分类，去掉绝对值号的需要。
问题3：按什么标准进行分类讨论？
答：按绝对值的意义分类：x≤a和x>a
①当x≤a时，函数f(x)=x2–x+a+1=(x–)2+a+
问题1：是否还要进行分类讨论？若分类，为什么要分类？
答：要分类，二次函数对称轴与定义区间关系不能确定
问题3：按什么标准进行分类讨论？
答：二次函数对称轴与定义区间关系分:a≤与a＞
若a≤，则函数f(x)在(–∞,a］上单调递减。
从而函数f(x)在（–∞,a上的最小值为f(a)=a2+1
若a＞，则函数f(x)在（–∞,a上的最小值为f()=+a，
且f()≤f(a)。
②当x>a时，函数f(x)=x2+x–a+1=(x+)2–a+
若a≤–，则函数f(x)在(a,+∞)上的最小值为f(–)=–a；
若a＞–，则函数f(x)在［a,+∞)单调递增。
从而函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a2+1
问题4：分类讨论的结果怎么办，合并还是不合并？
答：参数a影响的分类，而解的是的最小值，因而结果不能合并,分情况表达。
综上，当a≤–时，函数f(x)的最小值为–a；
当–＜a≤时，函数f(x)的最小值是a2+1；
当a＞时，函数f(x)的最小值是a+。
运用“问题驱动”教学模式探究分类讨论问题关键在于确定了分类以后,对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则。究竟是我们会依据怎样的标准进行分类呢？引起分类的原因，一般可归结为：1.由概念内涵分类；2.由公式条件分类；3.求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；4.数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的；5.由实际意义分类有些应用问题也需分类讨论。
回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有：绝对值概念的定义；根式的性质；一元二次方程根的判别式与根的情况；二次函数二次项系数正负与抛物线开口方向；反比例函数k/x的反比例系数k，正比例函数的比例系数k，一次函数kx+b的斜率k与图象位置及函数单调性关系；指数函数及其反函数中底数a的a＞1及0＜1对函数单调性的影响；等比数列前n项和公式中q=l与q≠1的区别；复数概念的分类；不等式性质中两边同乘(除)时正数与负数对不等号方向的影响；排列组合中的分类计数原理；圆锥曲线中离心率e的取值与椭圆、抛物线、双曲线的对应关系；直线与圆锥曲线位置关系的讨论；运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k是否存在；曲线系方程中的参数与曲线类型；角终边所在象限与三角函数符号等等,当你对以上各种情况“心中有数”时，分类讨论便不再令人望而生畏。
通过“教师引导启发提出问题——学生解决问题——教师根据问题的发展再提出问题——学生再解决问题——最终解决问题”递进式的“问题驱动”，为学生的主体提供和创设了一个优良的问题情境，提供了充足的思考与探究时间，用问题激励学生沿着解决问题的正确方向去思考，用问题来锤炼学生的思维意识，不仅强化思维习惯和能力，而且通过这种教学模式的探索，使学生更能深层次的理解分类讨论的实质，体会到数学问题求解中的无限乐趣。
作者单位：陕西省西安市阎良区西飞一中
邮政编码：710089
Using“Problem-DrivenTeachingMethode”toDiscuss
ClassificationProblems
BaiXuebing
Abstract:Thispapermakesathoroughresearchonsolutionstoclassificationdiscussion
problems.Itcallsforadoptinganew“problem-driven”teachingpattern,thustodevelopgood
thinkinghabitsandimproveproblem-solvingability.
Keywords:problem-driving;teachingpattern;classificationdiscussion