关键词：几何概型教学；观念；模型；兴趣
作者简介：黄映磊，任教于浙江省衢州高级中学。
人教版数学必修3第三章中的几何概型是高中数学课程改革中的新增内容。如何把握这一内容的教学，是每一个高中数学教师面临的新课题，执教过几何概型这部分内容的教师，都有这样的感觉：几何概型的教学比较抽象，学生理解起来很困难。笔者通过教学，对这部分内容进行了一些思考，下面笔者将谈谈自己的看法和体会，与同行商榷。
一、利用反例，转变错误观念
数学由证明和反例组成，数学发现主要是提出证明和构造反例。从科学性来讲，反例是推翻错误命题的有效手段；从教学上而言，反例能够加深对正确结论的全面理解。美国数学家B.R.盖尔鲍姆曾说：“一个数学问题用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧”。高中阶段由于学生对概率知识和随机现象只停留在了解阶段，对概率的相关知识并不作深入的研究，因此对有些结论我们可以通过反例来说明其错误性。
例1：不可能事件的概率为零，概率为零的事件不一定是不可能事件；必然事件的概率为1，概率为1的事件未必是必然事件。
分析：教材中，古典概型被安排在几何概型之前，我们知道，当考虑的概型为古典概型时，概率为零的事件一定是不可能事件。受先入为主思想的影响，学生会认为：当考虑的概型是几何概型时，概率为零的事件也是不可能事件。事实并非如此。通过举反例，学生很容易纠正这一错误观点。
如右图，设试验E为“向边长为1的正方形内随机
抛掷一粒芝麻”，事件A为“芝麻落在正方形的中心O”。
尽管，但A却可能发生。
发生上述情形的原因在于随机事件所在的区域是一个单点，单点的长度、面积、体积均为0，因此，当考虑的概型是几何概型时，概率为零的事件未必是一个不可能事件。同样，由对立事件知，概率为1的事件未必是必然事件。
二、利用对比，建立正确模型
概率中会涉及很多的新概念和新模型，它们之间往往具有一定的抽象性和相似性，使得学生对这些概念和问题的理解容易产生混淆。为此在教学中，教师可通过其中某些概念和问题之间的比较，引导学生对比辨析，推敲它们之间的区别与联系，分析问题的异同所在，深刻理解概念，主动构建正确的模型。
例2：在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长度小于AC的长度的概率。
例3：在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在内部作一条射线CM与线段AB交于点M，求AM的长度小于AC的长度的概率。
根据新课标人教版对几何概型的定义，要看清楚基本事件的组成，且几何概型的本质是基本事件的等可能性和无限性。把点看作基本事件后，基本事件的等可能即为“点在什么样的特定区域内均匀分布”是解决几何概型问题的关键。
分析：例2中的基本事件应该是点M，点M在线段AB上可以均匀的移动，即点M在线段AB上出现的可能性是相等的。解法：如图，在AB上截取AD=AC，则AB=AC=AD，设事件E为“AM的长度小于AC的长度”，则
例3：中的基本事件是射线CM，当点M在线段AB上移动时，射线CM扫过的区域三角形面积是不均匀增加的，即所作的射线不是等可能的。而射线CM扫过的区域角是均匀增加的，这时所作的射线是等可能的。正确解法：在AB上截取AD=AC，连接CD，则∠ACD=67.5°，设事件E为“AM的长度小于AC的长度”，则.
上面的两个问题是形似质异的几何概型问题，都是在同样的直角三角形中求AM的长度小于AC的长度的概率。但由于事件的条件不同，等可能的角度不同，概率当然会不同。
事实上，教学中教师的教学内容对学生课后解决问题有一定的暗示作用，很多学生已经习惯于依葫芦画瓢，是什么导致学生先会后又不会了呢？实质就是学生并未真正理解概念。通过以上变式的训练，引发学生解决问题中出现的观念冲突，让学生在对比中辨析概念、问题，寻找相应的概率模型，帮助学生完善认知结构，培养学生研究问题、分析问题、解决问题的意识和能力。
三、联系实际，激发学习兴趣
兴趣是最好的老师。没有兴趣的学习，好比无源之水，日见其竭；无根之木，日见其枯。正如著名教育家皮亚杰所说：“所有智力方面的工作都要依赖兴趣。”因此，在数学教学中，教师要运用兴趣在学生和数学知识之间架起的桥梁，让学生通过桥梁进入数学大门，才能研究、探索数学知识，在实践中应用数学知识。
例4：两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机的接收范围是25km，下午3：00张三在基地正东30km内部处，向基地行驶，李四在基地正北40km内部处，向基地行驶，试问下午3：00，求他们可以通过对讲机交谈的概率。
分析设x.y为张三、李四与基地的距离。于是,，它们构成实数对（x.y
)构成的集合为基本事件对应的几何区域。以基地为原点建立坐标系.，图中方形区域内的点代表基本事件组，阴影部分的点代表所求事件。区域总面积1200，可以交谈即。
例5：在射箭比赛中，人距离靶70米。环靶为圆形,直径122厘米,自中心向外分别为黄色、红色、浅蓝色、黑色和白色五个等宽同心圆色区。每一色区由一条细线分为两个同色的等宽区,这样就构成了10个等宽的环区。黄色圆形区直径12.2厘米。在北京奥运会上，谁获得了中国射箭第一块奥运金牌？她和韩国选手在最后一箭才决出了胜负，结合概率知识，你能求出她射中10环的概率是多少吗？
如图，设试验E为“箭中靶”，事件A为“箭射中黄色圆形区”（射中10环），则
中学生的心理特点之一，是具有强烈的好奇心与求知欲，强烈的好奇心能引起学生浓厚的学习兴趣，而浓厚的兴趣又能激起学生强烈的求知欲。北京奥运会是所有中国人都关心的体育盛会，手机通话学生在生活中接触较多。教师创设这样学生熟悉的事例，不仅可以活跃课堂气氛，集中学生的注意力，诱发学生的好奇心和学习动力，而且可以增强学生的求知欲，发挥学生的主体作用，产生学习兴趣。同时面对0.01的可能性和压力，张娟娟仍然完成了这最重要的一箭，给了学生更多的思考和情感上的升华。
新课标提出教学要关注学生的知识与能力，更要关注学生的情感、态度、价值观等。几何概型这部分内容与实际生产和生活联系紧密，应用非常广泛。在实际教学中，教师可以多举例，方便学生理解概念，确定正确的数学模型，从而激发学生的求知欲，对数学学习产生浓厚的兴趣。
（作者单位：浙江省衢州高级中学324004）