复Monge-Ampère方程的几类边值问题

论文摘要

复Monge-Ampere方程涉及多复变、微分几何以及完全非线性偏微分方程等重要研究领域．关于该类方程的研究问题源于多重位势理论、微分几何中的Calabi猜想和物理学等．经典的复Monge-Ampere方程是一类典型的椭圆型完全非线性偏微分方程，形如：其中u是Cn中开集Ω上多重下调和函数，右端函数f>0．近20年来，对于复Monge-Ampere方程的研究已经取得了丰硕的成果．本文主要涉及复椭圆型Monge-Ampere方程四个方面的研究；一是讨论严格拟凸域上半线性斜边值问题解的存在性，正则性以及唯一性；二是讨论凸域上的边界爆破问题．我们证明了该问题在合适的增长性条件下严格多重下调和解的存在性，并得到在某些拟凸域上解的非存在性条件，从而说明我们所给的增长性条件的最优性；三是将复椭圆型Monge-Ampere方程边界爆破问题的结论推广到更一般的复Hessian方程上，得到在凸区域上解的存在性．四是讨论在一类特殊的非严格拟凸域上弱解存在性．第一章我们简要概述复Monge-Ampere方程的研究背景，进展以及本文所研究的问题，运用的方法和获得的若干结果．第二章我们首先介绍一些与复Monge-Ampere方程相关的预备知识，然后介绍复Monge-Ampere方程Dirichelt问题与Neumann问题的主要结果，之后我们采用先验估计以及连续性方法研究半线性斜边值问题，证明在严格拟凸域上解的存在性、唯一性以及正则性．第三章我们先介绍郑绍远与丘成桐在研究非紧复流行上的复Kahler度量的存在性时的主要工作，然后通过构造径向闸函数的方法来讨论凸域上的复Monge-Ampere方程以及复Hessian方程边界爆破问题解的存在性．第四章我们先介绍多重位势理论的一些基本知识，然后介绍复Monge-Ampere方程在严格拟凸域上已有的两个重要结论，之后讨论一类特殊的非严格拟凸域上复Monge-Ampere方程弱解的存在性．本文所用的主要方法，包括构造闸函数、插值不等式、先验估计以及连续性方法．

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 第二章 复Monge-Ampere方程的斜边值问题
• 2.1 预备知识
• 2.2 Dirichlet边值问题
• 2.2.1 引言
• 2.2.2 严格拟凸域上的Dirichlet边值问题
• 2.2.3 一般区域上的Dirichlet边值问题
• 2.3 斜边值问题
• 2.3.1 Neumann边值问题
• 2.3.2 斜边值问题的主要结果
• 2.3.3 最大模估计
• 2.3.4 导数估计
• 2.3.5 定理2.3.10的证明
• 第三章 复Monge-Ampere方程的边界爆破问题
• 3.1 预备知识
• 3.2 复Monge-Ampere方程的边界爆破问题
• 3.2.1 主要结论
• 3.2.2 主要引理
• 3.2.3 不存在性的证明
• 3.2.4 存在性的证明
• 3.3 复Hessian方程的边界爆破问题
• 3.3.1 引言
• 3.3.2 主要引理
• 3.3.3 不存在性的证明
• 3.3.4 存在性的证明
• 第四章 复Monge-Ampere方程的弱解
• 4.1 预备知识
• 4.2 严格拟凸域上的Dirichlet边值问题
• 4.3 严格拟凸域上下解导致解
• 4.4 非严格拟凸域上的弱解
• 参考文献
• 致谢
• 攻读博士期间发表或已完成的论文