论文摘要
函数空间的刻画在调和分析中起了重要的作用,把复杂的函数空间分解为简单函数的线性组合是函数空间分解的方向和目标。正是有了这样的分解,才使得对函数空间有了进一步的理解,Hardy空间的原子分解和分子分解是相继完成的,类似的许多函数空间的分解与刻画也是按照这一思路来进行的。但是—般来讲,分子分解晚于原子分解,由于原子具有紧支性条件,所以受到很多限制。因此寻找合适的非紧支性的分子就是非常必要的工作。并且分子分解对算子在这类空间上的有界性的研究起到了很重要的作用。有了原子分解和分子分解,许多算子的有界性问题得到了较简单的解决和表示,这也是许多调和分析专家关注函数空间分解的—个重要原因。 Besov空间和Triebel-Lizorkin空间是目前两类研究的较多的空间,其原因一方面是由于Besov空间和Triebel-Lizorkin空间当参数取一些特殊值时,就得到一些经典的空间,如常见的Hardy空间,Sobolev空间等等都是Triebel-Lizorkin空间的特殊形式,从而在Besov空间和Triebel-Lizorkin空间上成立的问题,在别的空间上同样成立;另一方面,对于偏微分方程的研究,在很多时候,也要依赖于算子在Besov空间和Triebel-Lizorkin空间上的估计。出于上述两方面的因素,对于各种Besov空间和Triebel-Lizorkin空间的刻画的研究就显得比较有意义。 本文共分四部分,第一部分引入了区域上的Besov空间的分子的定义,讨论了这类Besov空间的分子刻画,证明了区域上的Besov空间存在分子分解。在第二部分,证明了一个T（1）型的定理,说明Calderón-Zygmund算子在这类Besov空间的内部是有界的;在论文的第三部分,与Besov空间相对应,定义了某类区域上的Triebel-Lizorkin空间,研究了这类空间的原子刻画和分子刻画,证明了在这类Triebel-Lizorkin空间上同样存在原子分解和分子分解,以及一个与Besov空间情况类似的关于Calderón-Zygmund算子的结论;在本文的第四部分,得到了区域上Besov空间和Triebel-Lizorkin空间的插值定理
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