代数曲线曲面设计与造型的研究

论文摘要

几何造型是计算机辅助几何设计和计算机图形学的一项重要内容，而曲线曲面的设计与造型又是几何造型的一个主要内容。曲线曲面造型技术可分为参数和隐式两大类，参数方法的研究由来已久并已相当完善，而近年来隐式方法受到了越来越多的关注。与参数曲面相比，隐式曲面在构造复杂形体方面具有不可替代的优势。在所有隐式方法中，以代数曲线曲面最具代表性。 本文主要研究代数曲线和曲面的设计与控制问题，具体包括代数曲线不同构造形式的性质分析和应用、代数曲面的构造、分片代数曲面blending问题中的自由参数选取等内容。 在代数曲线设计方面，首先介绍一种从给定的带权值的控制顶点集出发，利用多边形的重心坐标构造代数曲线的方法，并分析其特点进而将这种方法应用于端点插值曲线的构造；然后基于对一种特殊的泛涵样条的分析和研究，提出了一种端点插值三次代数样条曲线的构造算法，这种样条曲线在段与段之间满足G~2连续，在端点处亦满足二阶插值条件；最后提出一种基于由控制顶点连成的多边形几何信息在空间延拓产生的指导向量结合一定的端点插值条件构造代数曲线的方法，且给出了该方法生成曲线的简洁的显式表达式，并在理论上分析了其性质。 在代数曲面造型和控制方面，将上述基于指导向量构造代数曲线的方法推广到高维，应用于隐式曲面的构造；另外，给出了一套用于选取在分片代数曲面blending问题中经常出现的自由参数的方法。通过极小化代数曲面的光顺能量并在必要时添加一些点约束条件，我们较好地解决了这个问题，由选取的这些参数可以得到具有合理外形的(分片)代数过渡曲面。

论文目录

• 致谢
• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• §1.1 概述
• §1.2 几何造型技术及其发展
• §1.3 参数曲线曲面造型
• §1.4 隐式曲线曲面造型
• §1.4.1 隐式方法的基本特点
• §1.4.2 主要研究方向及发展
• §1.5 本文主要内容和结构安排
• 第二章 基本知识
• §2.1 代数曲线曲面的定义
• §2.2 代数几何理论
• §2.2.1 代数簇和理想
• §2.2.2 Gr（o|¨）bner基理论
• §2.2.3 Syzygy模理论
• §2.3 几何连续性
• §2.4 泛函样条方法
• 第三章 用坐标法构造代数插值曲线
• §3.1 引言
• §3.2 重心坐标的一般定义及推广
• §3.3 用坐标法构造代数曲线
• §3.4 代数插值曲线的设计
• §3.5 本章小结
• 第四章 三次代数样条曲线
• §4.1 引言
• §4.2 三次代数插值曲线
• §4.2.1 代数插值曲线的构造
• §4.2.2 保凸性
• §4.2.3 凸包性
• §4.3 三次代数样条曲线
• §4.3.1 控制顶点的细分方法
• §4.3.2 分段代数曲线的生成
• §4.3.3 代数样条曲线的性质
• §4.4 计算实例
• §4.5 本章小结
• 第五章 基于指导向量构造隐式曲线曲面
• §5.1 引言
• §5.2 隐式曲线的生成
• §5.2.1 指导向量的构造
• §5.2.2 端点插值条件
• §5.2.3 最优化问题求解
• §5.3 曲线的显式表示和理论分析
• §5.3.1 曲线的表达式
• §5.3.2 曲线的存在唯一性
• §5.3.3 曲线的其他性质
• §5.4 计算实例与结果
• §5.5 解空间的推广和隐式曲面的构造
• §5.5.1 解空间的推广
• §5.5.2 隐式曲面的构造
• §5.6 本章小结
• 第六章 代数曲面blending中的自由参数选取
• §6.1 引言
• §6.2 分片代数曲面blending方法
• §6.3 自由参数的选取
• §6.3.1 极小化曲面能量
• §6.3.2 添加点约束条件
• §6.4 计算实例与结果
• §6.5 本章小结
• 参考文献
• 作者攻读博士期间完成论文