贝叶斯MT反演的非线性和不确定度分析

论文摘要

本论文得到国家留学基金委建设高水平研究型大学公派研究生项目[2007U18089]的资助。本论文进行了三方面的研究,首先在提高正演效率方面进行了初步探讨。针对大地电磁法的亥姆霍兹方程,采用Fourier谱分析分析和预测多重网格法用于正演计算的收敛效果。由于传统的局部Fourier谱分析没有考虑边界条件和模型参数的变化,它在分析多重网格法求解的收敛性时得出的渐近收敛估计与数值解偏差大。针对这一问题提出广义Fourier谱分析,即分析迭代矩阵的特征向量和特征值。通过对五重网格法求解的高重广义Fourier谱分析得到随着分析重数的增加,所求渐近收敛估计趋于收敛的数值结果,基于这些结果总结出高重广义Fourier谱分析的经验公式。求得低重广义Fourier谱分析,通过矫正近似得到高重广义Fourier谱分析。在粗网格上系数矩阵的产生采用加权平均法,并采用广义Fourier谱分析对它进行收敛性分析。其收敛性与传统几何多重网格法和聚类代数多重网格法进行对比,结果显示该方法的渐近收敛性明显比聚类代数多重网格法好,但轻微差于几何多重网格法。基于多重网格法的误差衰减特点,分别对大地电磁法问题的均匀半空间模型和三层模型进行边界截取研究。边界截取后的计算结果显示,随着边界截取的增加,得到满足特定收敛标准的数值解与理论解偏差增大。当截取到约2倍的趋附深度时,截取后的计算结果接近理论值,说明基于多重网格法的边界截取有效,可以用来提高正演效率。其次,在提高反演方法效率方面进行了研究。提出一种模型空间转换方法来改善自适应纯形下降模拟退火法(ASSA)在斜相关模型空间中的扰动效率。相关的模型空间通过转换,得到依赖性更弱的主分量模型空间(简称主轴空间),它由参数协方差矩阵的特征向量定义。纯形下降步骤和空间转换一起使得参数空间的强相关性减弱。通过对两个理论模型和一组实测数据的反演,显示主轴空间ASSA总体上比物理空间ASSA收敛性要好、效率要高。在旋转后的空间中,可以避免高拒绝率,使扰动更有效。随着温度的降低,通过预设数量的样本集进行估算的协方差矩阵可以用来近似全局协方差矩阵。对所有的实例,主轴空间ASSA给出更好的反演结果。最后,应用贝叶斯理论对一维(1D)大地电磁反演问题进行非线性研究。在贝叶斯理论中,测量数据和先验信息包含在后验概率密度函数(PPD)中,它可以解释成模型的单点估计和不确定度等贝叶斯推断,这些信息的获取需要对反演问题进行优化求最优模型和在高维模型空间中对PPD进行采样积分。大部分1D大地电磁法的反演是基于线性化方法,最近非线性反演方法也开始越来越受重视。本文针对1D大地电磁反演问题,直接对比了线性化和非线性不确定估计；为了达到这个目的,我们对两种反演方法都采用了最新方法、技术。本文采用主轴空间ASSA对欠参数化反演问题进行非线性单点反演。数值积分采用Metropolis Hastings采样,为了使采样更有效和更完全,采样在主分量参数空间中进行,并采用非单位采样温度。在反演中,由于模型的合理参数化一般情况下是未知的,因此考虑了两种常用的参数化方法(欠参数化和超参数化)。对于欠参数化方法,我们采用贝叶斯信息准则(BIC)来判断与数据信息一致的反演层数。对于超参数化方法,采用了倾向于简单结构的先验信息(类似于正则化反演)。在反演中,采用了不同的方式处理数据误差和/或正则化因子,比如采用已知固定值(经验贝叶斯反演方法)或当成未知随机变量包含在采样中(“分级”贝叶斯反演方法)。后者的优点是可以把数据的误差和/或正则化因子的影响也包含在反演结果的不确定度中,量化它们在反演中的作用。对理论模型和大地电磁法的COPROD1实测数据进行了反演,并对比了非线性和线性化反演结果。在有些例子中,它们的反演结果相差比较大,对于低电导率薄层,线性化反演不敏感,且线性化反演不能解决多峰PPD的反演问题(从这一角度说明非线性反演优于线性化反演)。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 目录
• 第一章 概述
• 1.1 研究意义
• 1.2 国内外研究现状
• 1.3 创新点和论文结构
• 1.3.1 创新点
• 1.3.2 文章结构
• 第二章 快速正演初探
• 2.1 问题描述
• 2.1.1 电磁传播规律
• 2.1.2 边值问题
• 2.2 多重网格法
• 2.3 收敛性分析
• 2.3.1 基于复数域的传统Fourier谱分析
• 2.3.2 基于复数域的广义Fourier谱分析
• 2.3.3 特征值及特征向量谱的空间转换
• 2.4 收敛性分析结果
• 2.4.1 基于Fourier谱分析的松弛因子ω的选择
• 2.4.2 局部Fourier谱分析和广义Fourier谱分析对比
• 2.4.3 收敛性广义Fourier谱分析
• 2.5 边界截取效果分析
• 第三章 基于贝叶斯理论的传统反演方法
• 3.1 简介
• 3.2 线性贝叶斯反演
• 3.2.1 加权最小二范数法
• 3.2.2 加权最小一范数法
• 3.2.3 病态问题的反演
• 3.3 线性化反演
• 第四章 非线性贝叶斯反演
• 4.1 贝叶斯理论
• 4.2 包含非地电参数的贝叶斯反演
• 4.2.1 模型参数化
• 4.2.2 超参数化贝叶斯反演
• 4.2.3 欠参数化非线性贝叶斯反演
• 4.3 非线性不确定度估计:Metroplis-Hastings采样数值积分
• 4.4 采样温度
• 4.5 数据误差估计
• 第五章 主轴空间的自适应纯形下降模拟退火法
• 5.1 主轴空间的随机扰动
• 5.2 算法评价
• 5.3 实例分析
• 5.3.1 合成模型分析
• 5.3.2 实测数据的反演
• 第六章 1D大地电磁法贝叶斯反演推断
• 6.1 简单的三层模型
• 6.2 五层模型
• 6.2.1 欠参数化分析
• 6.2.2 超参数化分析
• 6.3 COPROD1数据的贝叶斯推断
• 6.4 数据误差后验检验
• 第七章 结论与建议
• 7.1 结论
• 7.2 建议
• 参考文献
• 致谢
• 博士期间取得的研究成果