Landau-Lifschitz方程的Hamilton理论

论文题目: Landau-Lifschitz方程的Hamilton理论

论文类型: 博士论文

论文专业: 基础数学

作者: 何进春

导师: 陈化

关键词: 完全可积方程,方程,理论,守恒量,规范变换

文献来源: 武汉大学

发表年度: 2005

论文摘要: 对非线性微分方程的研究长期以来是数学和物理学中的热门领域。在非线性理论的发展过程中,出现了一些最简单的“典型”的非线性波动方程,在某种意义上这些方程具有普适性质,就象经典的线性D’alamber方程那样,在各种物理现象中都可以遇到它们。例如熟知的KdV方程、非线性Schr(o|¨)dinger方程、sin-Gordon方程和Landau-Lifshitz铁磁方程,都属于这类方程。这些方程(至少在一维情形下)都具有突出的数学性质,它们含有一种隐蔽的代数对称性一利用对辅助线性算子的逆问题方法(即反散射法)可导至“可积性”,我们称之为完全可积性。非线性方程的完全可积性,就是说,该方程描述的是一个多周期系统,即,它是一个Hamilton系统,且可以引入作为正则共轭变量的作用变量和角变量,而Hamilton量可以表为作用变量的函数。因此,由作用变量与角变量的对易关系,作用变量是守恒量;角变量是周期地依赖时间的量,要能引入这样的量,我们自然会特别着眼于在完全可积方程反散射方法求解时得到的那些与时间有关的量的性质。因此,将符合上述条件的作用变量显式地表达出来,我们才能认为建立了完全可积方程的Hamilton理论。 铁磁链的Landau-Lifshitz方程是一类有物理背景的重要的非线性方程组,其重要性在于,Landau-Lifshitz方程是一类典型的1+1维完全可积方程。然而,对此类方程Hamilton理论的研究还存在许多问题未解决。我们来看最简单的情况一完全各向同性的Landau-Lifshitz方程,也称为Heisenberg铁磁方程,在用修正过的反散射法得到其孤子解后,L.D.Faddeev等开始着手建立此类方程的Hamilton理论。在引入自旋变量的Lie-Poisson括号后,将Heisenberg铁磁方程写成以Lie-Poisson括号表出的自旋变量的Hamilton方程的形式,Hamilton量作为自旋变量对x的积分,即坐标积分表达式就无歧义的定出。另一方面,用标准的操作过程,可以求出单式矩阵元的Lie-Poisson括号,因而在连续谱情况下,也唯一地定出系统的角变量和作用变量。由反散射法给出的角变量的时间相依关系,就决定了连续谱情况下Hamilton量的谱参数积分表示,即被积函数是作用变量乘以谱参数的确定函数。于是Hamilton量的两种积分表示,坐标积分表示和谱参数积分表示,都是确定的。下面的任务是从Jost解的渐近行为导出守恒律,得到某一守恒量,其坐标积分表达式正比于Hamilton量的坐标积分表达式,其谱参数积分表达式也正比于Hamilton量的谱参数积分表达式。这种处理是数学物理中的夹逼法。

论文目录:

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第一章 引言

1.1 磁化运动和Landau-Lifshitz铁磁方程

1.2 完全可积方程

1.3 Landau-Lifshitz方程的Hamilton理论

第二章 背景知识

2.1 自旋系统的Lie-Poisson括号

2.2 反散射法

2.3 变分

第三章 Heisenberg铁磁链的Hamilton理论

3.1 准备工作

3.2 单式矩阵元间的Lie-Poisson括号(连续谱情况)

3.3 Hamilton量H的连续谱部分的谱参数积分表示

3.4 ln a(k)的色散关系

3.5 过去导出的守恒量的失误

3.6 规范变换

3.7 守恒律的正确导出

3.8 I_1的表示式

3.9 结论

第四章 非各向同性的Landau-Lifshitz方程的Hamilton理论

4.1 Hamilton量坐标积分表达式

4.2 准备工作

4.3 单式矩阵元间的Lie-Poisson括号(连续谱情况)

4.4 Hamilton量的连续谱部分

4.5 守恒量

4.6 作用变量与角变量(离散谱情况)

4.7 Hamilton量

4.8 具易磁化面的Landau-Lifshitz方程的Hamilton理论

4.8.1 Hamilton量的坐标积分表达式与Lie-Possion括号

4.8.2 连续谱时的作用变量、角变量和Hamilton量

4.8.3 连续谱时的守恒量

4.8.4 离散谱时的Hamilton量

附录一 色散关系

附录二 从相容性条件导出L-L方程

附录三 引理2.1的证明

附录四 Poisson括号的直积形式

附录五 Jost解对的直积形式

附录六 Jost解的渐近值(亮)

附录七 几个公式

附录八 (3.3.40)式的证明

参考文献

后记

发布时间: 2006-03-27

参考文献

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• [2].Landau-Lifshitz方程解的一些研究[D]. 刘利敏.重庆大学2010
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• [10].Landau-Lifshitz方程的几点研究[D]. 李太龙.浙江大学2007

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