二次光滑局部线性估计在偏线性模型中的应用

论文摘要

局部线性回归因其出色的数值计算和理论性质而被广泛应用.这种方法主要是在点x的小区域内拟合一条直线,那么在点x的局部线性估计就是这条直线的截距项.局部线性估计的渐近偏差的收敛阶数是h2,渐近方差的收敛阶数是（nh）-1,其中h是带宽,而二次光滑局部线性估计是在点x的邻域内的所有点所在的直线再次积分得到.与局部线性回归中只使用一个截距项比较,二次光滑局部线性估计使用了来自局部直线的所有信息.因此,在没有改变方差的收敛速率下,这种估计方法使得偏差的收敛速率达到了h4.与局部线性回归比较,存在大量边界影响时,这种新的估计方法也有更好的表现.局部线性回归在偏线性模型中,得到的估计α具有收敛速率n-1/2,得到m（·）的估计也达到了非参中的收敛速率,而且,在一些适当的条件下,这两个估计的渐近正态性也得到了证明.在这篇论文中,通过使用比局部线性回归方法更优的二次光滑局部线性估计方法得到的估计m（·）和α也同样满足上述的性质.这样,在已知二次光滑方法优良的理论性质的前提下,在实际应用中,这种方法也是可行的.具体说来,（X,Y,B）表示一个随机向量,其中B和Y均为实值变量,B和X是相关变量.在偏线性模型中,为了估计回归函数E（Y|X,B）=αB+m（X）,其中α为未知参数,使用二次光滑估计的方法先得到这两个回归函数的估计E（B|X）=u（X）和E（Y|X）=v（X）,然后使用最小二乘法得到α的估计,最后再次使用二次光滑方法估计m（X）.并且在适当的条件下,建立了α和m（·）的渐近正态分布.论文中也研究了这两个估计在半参问题中都达到了最佳的收敛速率在得出主要结论之前,先证明五个引理来简化后面定理的证明.那么定理1证明了渐近偏差和方差的收敛速率,表明了与渐近方差比较,渐近偏差可忽略不计,而不需要在m（.）拟合不足时；定理2证明了α估计的分布服从渐近正态性；定理3证明了m（·）的渐近偏差和方差达到的收敛阶数,且偏差项界限的获得并没有要求其密度函数f（·）的可导性,而在基于核方法的估计中,这个条件是必须的；定理4表明,非参数部分m（·）的估计也是服从渐近正太性.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 前言
• 第二章 二次光滑方法及在偏线性模型中的应用
• 2.1 偏线性模型
• 2.2 局部线性回归
• 2.3 二次光滑局部线性估计及在偏线性模型中的应用
• 第三章 主要结论
• 3.1 参数部分的结论
• 3.2 非参数部分的结论
• 第四章 数据模拟
• 第五章 结论的证明
• 第六章 总结
• 参考文献
• 附录
• 致谢