带衰退记忆的方程整体解的长时间动力学行为

论文摘要

在这篇论文中,通过运用无穷维动力系统关于吸引子理论的最新研究成果并且结合一些能量估计技巧,我们研究了两类方程:具有衰退记忆的非经典扩散方程和具有衰退记忆的半线性热方程.我们对其弱解和强解的长时间动力学行为进行了深入的讨论,并且证明了以上方程对应动力系统的全局吸引子或一致吸引子的存在性.首先,我们研究了在自治外力项作用下具有衰退记忆的非经典扩散方程ut—△ut—△u—∫0∞k（s）△u（t—s）ds=f（u）+g（x）.当非线性项f（u）满足临界指数增长,以及外力项g仅属于空间H-1（Ω）或L2（Ω）时,通过应用半群分解技术和紧性转移定理来克服证明过程中存在的许多实质性困难,最终获得了方程的全局吸引子在弱拓扑空间和强拓扑空间的存在性结果（见定理3.2.9和定理3.3.8）.继而,我们研究了在非自治外力项作用下具有衰退记忆的非经典扩散方程ut—△ut—△u—∫0∞k（s）△u（t—s）ds=f（u）+g（x,t）.当非线性项f（u）满足临界指数增长,以及符号空间仅为Lb2（R;L2（Ω））或Lb2（R;H01（Ω））（而非平移紧）时,通过分解解过程,来进行解的渐近正则性估计,从而得到了方程在弱拓扑空间和强拓扑空间对应的过程族的紧的一致（w.r.t。g∈H（g0））吸引子的存在性（见定理4.2.15和定理4.3.5）.最后,我们研究了在自治外力项作用下具有衰退记忆的半线性热方程ut—△u—∫0∞k（s）△u（t—s）ds+f（u）=g（x）.在非线性项满足超临界指数增长条件下,通过应用抽象半群理论,进行先验估计,获得了解的存在唯一性,在此基础上利用收缩函数来验证解半群的渐近紧性,最终我们证明了方程的全局吸引子在弱拓扑空间L2（Ω）×Lμ2（R+;H01（Ω））和强拓扑空间H01（Ω）×Lμ2（R+;D（A））中的存在性（见定理5.2.9和定理5.3.7）.我们所研究的方程满足的条件很弱,关于非线性项通常是满足临界指数增长或超临界指数增长、而且在自治情形下外力项仅属于正则性较低的空间,在非自治情形下外力项仅为平移有界（符号空间不紧）,所以得到的结果极大地改进和推广了已有的一些结果.本文使用的主要工具为抽象半群理论,紧性转移定理及收缩函数.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 综述
• 1.1 无穷维动力系统相关问题概述
• 1.2 吸引子存在性问题的研究进展
• 1.2.1 自治系统全局吸引子存在性问题的研究进展
• 1.2.2 非自治系统一致吸引子存在性问题的研究进展
• 1.3 本文研究的问题及其展望
• 1.3.1 研究的问题
• 1.3.2 展望
• 1.4 本文的内容安排
• 2 预备知识
• 2.1 函数空间及其性质
• 2.2 全局吸引子存在性的基本理论
• 2.3 一致吸引子存在性的基本理论
• 2.4 常用不等式
• 2.5 紧性引理
• 3 具有衰退记忆的非经典扩散方程全局吸引子的存在性
• 3.1 问题简述
• 3.2 弱解的全局吸引子
• 3.2.1 解的存在唯一性
• 3.2.2 有界吸收集
• 3.2.3 全局吸引子
• 3.3 强解的全局吸引子
• 3.3.1 解的存在唯一性
• 3.3.2 有界吸收集
• 3.3.3 全局吸引子
• 4 具有衰退记忆的非自治非经典扩散方程解的一致吸引子的存在性
• 4.1 问题简述
• 4.2 弱解的一致吸引子
• 4.2.1 有界一致吸收集
• 4.2.2 渐近正则估计
• 4.2.3 一致吸引子
• 4.3 注记
• 5 具有衰退记忆的半线性热方程解的全局吸引子的存在性
• 5.1 问题简述
• 5.2 弱拓扑空间的全局吸引子
• 5.2.1 解的存在唯一性
• 5.2.2 有界吸收集
• 5.2.3 全局吸引子
• 5.3 强拓扑空间的全局吸引子
• 5.3.1 强解的存在唯一性
• 5.3.2 有界吸收集
• 5.3.3 全局吸引子
• 5.4 注记
• 参考文献
• 在学期间的研究成果
• 致谢