孤立子方程的精确解及有关可积系统的若干研究

论文摘要

本文研究的主要内容包括两个方面:孤立子方程的求解与可积系统。在第二章中,首先通过引进椭圆函数φ（ξ）作为一个新的变量进一步改进了Jacobi椭圆函数法,并由此求出了Drinfel d-Sokolov-Wilson方程的一系列新的精确解。其次,利用著名的Sine-Poisson方程的解,提出了常系数或变系数的Sine-Poisson展开法,利用该方法可求出一系列演化方程的精确解,文中以KdV-mKdV方程和破裂孤子方程为例加以说明。在第三章中,首先构造了loop代数（?）1的一组基,并由此设计了一个新的等谱问题,利用屠格式得到了一类含有5个位势函数的具有双Hamilton结构的Liouville可积系,其可约化为Tu族。其次,根据一种新的换位运算构造了一个新的loop代数（?）2*,并由此设计了一个新的等谱问题,利用屠格式得到了一族具有双Hamilton结构的可积系。又利用外积的性质构造了一个3M维的loop代数（?）,由此可设计出许多新的等谱问题,作为应用,本文得到了一个多分量的TC族,其可约化为多分量的KdV方程。最后,利用循环数的概念,构造了一个新的高维loop代数（?）M,利用（?）M设计了一个新的等谱问题,由此得到了一个含多个位势函数的多分量的可积系,其可约化为著名的KN族。在第四章中利用一种新的换位运算得到了一类方程族的扩展可积模型,并提出了一种求扩展可积模型的直接方法。

论文目录

• 1 绪论
• 1.1 孤立子理论的产生及发展
• 1.2 孤立子理论研究概述
• 1.3 孤立子理论研究的意义
• 2 孤立子方程的精确解
• 2.1 耦合的Drinfel·d-Sokolov-Wilson方程的一系列精确解
• 2.2 Sine-Poisson展开法及其应用
• 3 非线性演化方程族的生成及其可积性
• 3.1 一般理论与方法
• 3.2 一类具有双Hamilton结构的Liouvin可积系
• 3.3 一类新的loop代数及其应用
• 3.4 一类新的loop代数及多分量的TC族
• 3.5 一类新的高维的loop代数及相应的一个多分量的可积系
• 4 非线性演化方程族的扩展可积模型
• 4.1 方程族（3.40）的一类扩展可积模型
• 4.2 求扩展可积模型的一种直接方法
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士阶段完成的论文