具有K=1和S=0的（α，β）-度量

论文摘要

本文对（α，β）-度量的S-曲率和旗曲率进行了研究。首先，通过对Busemann-Hausdorff体积形式的计算，给出了S-曲率的计算公式。从而得到了（α，β）-度量的S-曲率为0的一个非平凡条件。并且发现了在李群S3上确实存在一组黎曼度量和整体定义的1-形式，对由任何光滑函数φ构造的（α，β）-度量都有S=0。受此启发在β为关于α长度恒定的Killing 1-形式的条件下对旗曲率做了计算，构造出了李群S3上具有K=1和S=0的一组Finsler度量。具体地是下面的结果：命题：对（α，β）-度量F=αφ（β／α），令dVF=σF（x）ω1∧…∧ωn和dVα=σα（x）ω1∧…∧ωn分别是F和α的Busemann-Hausdorff体积形式，则：σF（x）=μ（b）σα（x），其中，Γ（x）是Euler-函数。定理1：对（α，β）-度量F=αφ（β／α），当β为关于α长度恒定的Killing1-形式时，S=0。例子[BS]：设是李群S3上的黎曼度量，βk=（k2-k）1／2θ1是李群S3上整体定义的1形式。通过计算可以得到：βk为关于黎曼度量αk的Killing1-形式且满足‖βk‖αk=(（k2-k）1／2)／k是常数。由定理1知Fk=αkφ（βk／αk）的S-曲率为0。重要的是，在[BS]中得到，当F=αk+βk时，Fk的flag曲率为1。我们推广了这个结论：定理2：设是李群S3上的黎曼度量，βk=（k2-k）1／2θ1是李群S3上整体定义的1形式。则具有旗曲率K=1和S=0，其中λ：=（k-1）／k，k≥1，c1≤k是任意常数。关于定理1的逆命题是否成立，我们对特殊的度量F=α+∈β+k（β2／α）和Matsumoto-度量F=α2／（α-β）做了尝试，得到：定理3：对Matsumoto-度量F=α2／（α-β）和（α，β）-度量F=α+∈β+k（β2／α），其中∈，k为非零常数。以下等价：（1） F具有迷向S-曲率，即存在M上的数量函数c（x），使得S=（n+1）c（x）F。（2） F具有迷向平均Berwald-曲率，即存在M上的数量函数c（x），使得E=（n+1）／2c（x）F-1h。（3）β为关于α长度恒定的Killing1-形式，即r00=0，s0=0。（4） S=0．（5） F为弱Berwald度量，即E=0。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 引言
• 第2章 预备知识
• 第3章 （α,β）-度量的S-曲率
• 3上具有满足K=1和S=0的Finsler度量'>第4章 李群S³上具有满足K=1和S=0的Finsler度量
• 3'>4.1.关于李群S³
• 4.2.旗曲率的计算公式
• 3上K=1的Finsler度量'>4.3.李群S³上K=1的Finsler度量
• 第5章 特殊（α,β）-度量的S-曲率
• 5.1.Matsumoto-度量
• 2/α）'>5.2.广义Shen-度量F=α+∈β+k（β²/α）
• 第6章 最新进展及一些新的问题
• 参考书目（References）
• 后记