一种新的小波基的构造及其应用

论文摘要

小波变换和Fourier变换及其相关理论有着紧密的联系。传统的Fourier变换理论是一种纯粹的频域分析方法,在时域上不具备分辨能力。为了提取Fourier变换的局部信息,Gabor引入了Gabor变换,进而出现了短时Fourier变换（又称加窗Fourier变换）,初步克服了传统的Fourier变换不具有时间分辨率的缺点。但短时Fourier变换在时频平面上的分辨率是固定不变的,由此产生了小波变换,能够自动的调节时间-频率窗的形状,具有强大的时频局部化能力。随着20世纪60年代以来数字信号处理理论的快速发展,尤其是之后滤波器组理论的逐渐成熟,小波变换与滤波器组理论的内在联系得以发现。因此,可以考虑从滤波器组理论的角度对小波变换的相关问题展开研究。本文的主要内容如下:（1）分析了小波变换的基本理论,给出的尺度空间和小波空间关系图,清晰而直观的表明了尺度空间和小波空间的关系。给出的信号多分辨分析示意图,直观地表明了信号在多分辨分析上的分解特点。分析了Mallat算法的实现。（2）介绍了离散时间信号与Fourier变换、离散时间系统与Z变换。离散时间信号和离散时间系统是数字信号处理理论的基础,也和滤波器组理论有着密切的关系。讨论了数字滤波器和抽取、内插等多速率系统的基本概念,给出了滤波器组的三类多相分解形式。分析了准确重建滤波器组的性质。在此基础上利用乘积滤波器的因子分解方法,基于准确重建滤波器组构造了一类新的双正交小波,得到了滤波器组的参数化表示,并在紧支撑区间上得到了尺度函数、小波函数、对偶尺度函数和对偶小波函数的图形。并分析了它们的频率响应特征。采用粒子群算法,在已有的参数化表示的滤波器组基础上,构建了波形匹配的有理系数的双正交小波。（3）讨论了基于小波变换的阈值去噪的基本思想,构建了一个新的双参数阈值函数,针对具体信号进行了去噪仿真。分别对比了基于不同小波基与基于不同阈值函数的去噪效果。并对结果进行了分析。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第1章 绪论
• 1.1 选题的目的和意义
• 1.2 研究现状
• 1.3 本文的组织
• 第2章 小波分析
• 2.1 Fourier变换与窗口Fourier变换
• 2.1.1 Fourier变换
• 2.1.2 窗口Fourier变换
• 2.2 小波变换
• 2.2.1 连续小波变换
• 2.2.2 离散小波变换
• 2.2.3 小波框架
• 2.3 多分辨分析与二尺度方程
• 2.3.1 多分辨分析
• 2.3.2 二尺度方程及其符号
• 2.3.3 Mallat算法
• 第3章 基于完全重建滤波器组的小波的构建
• 3.1 离散时间信号与离散时间系统
• 3.1.1 离散时间信号与Fourier变换
• 3.1.2 离散时间系统与Z变换
• 3.2 数字滤波器
• 3.3 基于PR滤波器组的双正交小波构造
• 3.3.1 多速率系统的基本原理
• 3.3.2 PR滤波器组与小波构造
• 3.3.3 一类新双正交小波的构造
• 3.3.4 基于PSO算法的匹配双正交小波的构造
• 3.3.4.1 紧支有理系数9/7小波滤波器的构造
• 3.3.4.2 匹配小波的选择准则
• 3.3.4.3 算法设计
• 3.3.4.4 匹配小波构造实例
• 第4章 数值实验
• 4.1 基于DWT阈值去噪的简介
• 4.2 一种新的阈值函数
• 4.3 基于新的阈值函数的信号去噪仿真
• 4.4 基于新的小波基的信号去噪仿真
• 4.4.1 基于新的小波基的软、硬阈值去噪仿真
• 4.4.2 基于新的小波基和新阈值函数的去噪仿真
• 第5章 总结与展望
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表的学术论文
• 致谢