论文摘要
均衡约束数学规划问题（Mathematical programs with equilibrium constraints简称MPEC）是约束中含有参数变分不等式或者参数互补问题的约束规划问题MPEC的一个重要来源是双层规划问题（Bilevel programming problem简称BLPP）该问题在经济均衡、博弈论、工程设计、交通科学和顶层设计等领域有着重要的实际应用背景.但是,因为MPEC的约束在任何可行点处都不满足M-F约束规范（Mangasarian-Fromovitz constraint qualification）（实际上它的约束不满足大部分约束规范）,所以这类问题不管在理论分析还是在算法设计上都是非常难处理的.在过去的二十多年里,学者们对MPEC的理论和算法都做了深入的研究.但是仍然存在很多值得研究的地方.在本文,我们将进一步在理论和算法方面深入研究MPEC问题.特别地,我们得到如下的结果：（1）尽管MPEC的一阶最优性条件和约束规范理论已经比较完善,但是文献中一直没有关于MPEC的各种稳定性的最弱约束规范的任何研究结果.为此在第2章,我们首先深入研究了保证各种稳定性的最弱的约束规范.然后,考虑到最近有文献提出一种很弱的保证稳定点孤立性的条件,但没有说明该条件是否为约束规范,作为其补充,我们利用最弱约束规范条件证明了上述条件不仅是一个新的约束规范,并且还蕴含局部误差界条件.（2）在第3章,我们系统地研究了MPEC的二阶最优性条件.我们首先利用奇异或者非奇异的S-乘子研究了MPEC的二阶充分性条件.然后,我们给出了一些更弱的MPEC约束规范,并在这些约束规范条件下,得到了多种MPEC的二阶必要最优性条件.最后,我们在非常弱的条件下讨论了MPEC的局部最优解和稳定点的孤立性.（3）在第4章,我们研究了一类比参数MPEC更广泛的几何约束参数数学规划问题（MPGC）的稳定性.我们证明了,在某种约束规范和二阶充分性条件或者二阶增长性条件下,局部最优解映射和稳定点映射关于扰动参数都是非空连续的,且在合适的条件下,稳定对映射是平稳的.然后我们把这些结果应用到文献中已存在的几类问题上.尤其,对MPEC问题,我们证明了在M-乘子二阶充分性条件下,M-稳定对映射是平稳的；在S-乘子二阶充分性条件和双退化指标集为空集的条件下,S-稳定对映射是平稳的.（4）第5章旨在研究参数MPEC问题的灵敏度.我们在扰动的MPEC-RCR正则性和MPEC-NNAMCQ（均弱于MPEC-LICQ）条件下,得到了参数MPEC的价值函数的一阶方向导数的表达式.而且,我们把新的结果应用到局部的参数MPEC问题,把文献中所需要的所有分片问题都满足强二阶充分性条件减弱到S-乘子精炼二阶充分性条件.在本章的最后,我们用加强的M-/C-稳定性乘子研究了价值函数的极限次微分和地平次微分的上估计.（5）第6章旨在开发求解MPEC的有效算法.由于MPEC的约束不满足标准的约束规范,在文献中存在几种流行的稳定性条件：C-/M-/S-稳定性.我们首先把这些稳定性系统再定式为带有简单约束的光滑方程组,然后提出了一种改进的Levenberg-Marquardt方法来求解这些约束方程组并且把该方法全局化.我们证明了,在弱局部误差界条件下,该方法是全局收敛的且是局部超线性收敛的.最后我们讨论了一些使弱局部误差界成立的充分性条件且通过大量的数值试验说明了这些条件是容易满足的.（6）第7章旨在求解一类具有特殊结构的EPEC问题的正规C-/M-/S-Nash稳定点.我们证明了,在目标函数满足某种分离性条件下,该EPEC问题的正规C-/M-/S-Nash稳定点等价于某个MPEC的C-/M-/S-稳定点.而且,我们用电力市场中的两个数值例子来说明我们提出的方法的有效性.
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