论文摘要
本学位论文主要讨论在大初始扰动下带耗散项的非线性双曲型方程组定解问题的整体可解性以及整体解大时间性态的精细刻画,主要包含两大部分。第一部分研究高维单个守恒律方程式的Jin-Xin松弛逼近强平面稀疏波的整体非线性稳定性。带耗散项的流体力学方程组基本波的非线性稳定性是近年来的一个研究热点。这一问题的主要困难在于如何控制由于方程组的非线性性以及不同族波的相互作用所导致的解的可能的增长。克服这一困难的一个常用且有效的技巧是利用初始扰动以及基本波强度小性来控制由于方程组的非线性性以及不同族波的相互作用所导致的解的可能的增长。基于此,对带耗散的流体力学方程组,其弱基本波的局部稳定性结果已经很完善,但是如何得到强基本波的整体稳定性还是本领域同行们所关心的一个热点问题。本文拟研究一类典型的带耗散的非线性双曲守恒律组,即高维单个守恒律方程式的Jin-Xin松弛逼近,强平面稀疏波的整体非线性稳定性。具体到这一问题,由于不用考虑基本波的相互作用,我们所面临的主要困难是控制由于方程组的非线性性所导致的解的可能的增长。对这类问题,弱平面稀疏波的局部稳定性以及强平面稀疏波的局部稳定性已分别于1997年、2000年由Tao Luo教授[54]和赵会江教授[87]得到了证实,但是对于强平面稀疏波的整体非线性稳定性,还是未知的。在本文的第一部分,我们围绕这一问题开展了研究,通过充分发掘所研究方程组的内蕴结构并结合连续性技巧,我们得到了在三类大初始扰动下强平面稀疏波的整体非线性稳定性。第二部分研究当粘性系数和热传导系数是密度和温度的函数时一维可压缩Navier-Stokes方程组的大初值整体解的存在性。当粘性系数和热传导系数为常数且气体为理想多方气体时,已由Kanel [37], Kazhikov [40]等苏联数学家得到。但是如果由Boltzmann方程通过Chapman-Enskog展开来得到可压缩Navier-Stokes型的方程组的话,其粘性系数和热传导系数必须是温度的函数。因此,一个更有意义且本质的情形是研究当粘性系数和热传导系数是温度的函数时一维可压缩Navier-Stokes型的方程组的大初值整体解的存在性。但是与粘性系数和热传导系数为常数情形相比,粘性系数和热传导系数对温度的依赖性（特别是粘性系数对温度的依赖性）不仅影响了流体的流动,而且给相应的数学理论提出了一些具有挑战性的数学问题（事实上在参考文献[33]引言中作者指出"Temperature dependence of the viscosity μ has turned out to be especially problematic"（见参考文献[33]第905页最后一行））。就我们所知,到目前为止在这方面还没有任何大初值整体可解性结果。注意到对一类‘’solid-like material"的研究[9]以及在对高温情形下气体的一些实验结果[39]表明,此时粘性系数仅依赖于密度,而热传导系数可依赖于密度与温度也是很有意义的。因此,数学工作者不得不退而求其次来研究粘性系数仅依赖于密度,热传导系数可以依赖于密度和温度的情形（见[9],[33],[39],[72]）。虽然如此,就我们所知,在这些工作中,虽然粘性系数与热传导系数可以依赖于密度或温度,但是这些论文的主要想法是通过对粘性系数和热传导系数、气体的状态方程提一些条件以便能首先得到密度函数的上下界估计,进而可由极值原理来得到温度的下界估计,最后得到温度的上界估计。对理想多方气体,为保证这一技巧的适用性,一般要求要么粘性系数为常数（此时热传导系数可以为温度与密度的退化函数）,见[33],[39],[72],或要求粘性系数为密度的函数,热传导系数为密度与温度的函数但是要求热传导系数一定有正下界（在有些情况下也要求粘性系数有正的上、下界）,见[9],[39]。我们在本文中重点研究了非等熵情况下一维可压Navier-Stokes方程组当粘性系数和热传导系数依赖于密度和温度时且包含退化的情形（这里退化是指当密度或温度为零时,粘性系数和热传导系数等于零）时Cauchy问题和初边值问题大初值整体解的存在性。这类问题的关键在于如何得到密度和温度的上下界估计。我们通过充分发掘一维可压Navier-Stokes方程组的内蕴结构,发现温度函数的下界可以被密度函数的上界所控制,基于此并结合Y. Kanel [37]中发展的一些技巧,我们得到如下三个结果：·当粘性系数仅依赖于密度或者等于常数、热传导系数依赖于密度和温度且两者均可能为密度或温度的退化函数时其Cauchy问题的整体可解性；·当粘性系数仅依赖于密度或者等于常数、热传导系数依赖于密度和温度且两者均可能为密度或温度的退化函数时其三类初边值问题的整体可解性；·当粘性系数和热传导系数都是密度和温度的光滑函数但是气体的绝热指数充分靠近1时,其Cauchy问题的整体可解性。这是一个Nishida-Smoller型的大初值整体可解性结果,见[66]。
论文目录
相关论文文献
标签：高维单个守恒律的松弛逼近论文; 强平面稀疏波论文;