一种辅助方程方法及其对非线性方程的应用

论文摘要

F展开法是一种辅助方程方法,这里的辅助方程是Jacobi椭圆函数所满足的一类一阶常微分方程。它可看作是Jacobi椭圆函数展开方法的概括或浓缩,因为这里的F代表任何一种Jacobi椭圆函数。本文利用F展开方法对8组非线性发展方程组进行了研究,求出了这些方程组的各种以不同椭圆函数表示的双周期解。在研究过程中,将F展开方法从两方面进行了扩展。一方面:除最初的正幂项展开外,又推广到正负幂项展开以及（F,G）组合展开（F,G是代表具体函数的字符）。另一方面:辅助方程的推广:除Jacobi椭圆方程外,又用了其它辅助方程。本文用F展开法得到了丰富的结果,一部分结果是新的,其中（2+1）维扩散长波方程组比文献多得到22种新解,非线性耦合Klein-Gordon方程组比文献多得到21种新解,耦合KdV方程组比文献多得到22种新解,变形浅水波方程组比文献多得到38种新解,长短波相互作用方程组比文献多得到17种新解,Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程组得到29种新解,非线性耦合Klein-Gordon-Zakharov方程组比文献多得到36种新解。在模数m→1和m→0时,也分别得到孤立波解及三角函数解。最后用其他辅助方程,也得到了广义Drinfel’d-Sokolov方程组的孤立波解。

论文目录

• 第1章 引言
• §1.1 前言
• §1.2 课题的意义
• §1.3 课题的研究内容
• 第2章 F展开法介绍
• §2.1 F展开方法
• §2.1.1 正幂项展开
• §2.1.2 正负幂项展开
• §2.1.3 FG项展开
• §2.2 辅助方程
• §2.2.1 Jacobi 椭圆函数
• §2.2.2 其他辅助方程
• 第3章 F展开法的应用
• §3.1 （2+1）维扩散长波方程组
• §3.2 非线性耦合 Klein-Gordon方程组
• §3.3 耦合 KdV方程组
• §3.4 变形浅水波方程组
• §3.5 长短波相互作用方程组
• §3.6 Drinfel'd-Sokolov-Wilson方程组
• §3.7 非线性耦合 Klein-Gordon-Zakharov方程组
• §3.8 广义 Drinfel'd-Sokolov方程组
• 参考文献
• 致谢