两类数学物理方程的整体解

论文摘要

本文主要研究两类数学物理方程整体解的性态,即Minkowski时空中相对论膜的非线性动力学和水波理论中Nwogu型Boussinesq方程模型的孤立波。主要内容由以下几章组成。第一章对所考虑的两类数学物理方程的研究现状做一个简单介绍,并阐述本文要研究的问题,叙述我们得到的主要结果。第二章研究Minkowski空间中相对论膜的非线性动力学。通过变分法和几何方法,推导出Minkowski空间R1+n（n≥3）中相对论膜的运动方程。它是（1+2）维拟线性双曲型方程组,具有很多重要的性质,如非严格双曲性、常重特征、线性退化性和强零条件等；研究还发现,方程的平面波解都是类光极值子流形；反之,除了一类特殊的类光极值子流形外,其余所有的类光极值子流形都是方程的平面波解。第三章进一步研究相对论膜的非线性动力学。主要研究Minkowski空间R1+n（n≥3）中,我们所推导的相对论膜的运动方程,与以往所给出的经典方程之间的区别和联系。我们证明它们是等价的,并且从Noether定理角度重新认识此方程。同时,对于时空中相对论弦的情形给出类似相应的讨论。第四章研究水波理论中的Nwogu型Boussinesq方程模型的孤立波和周期波。此模型包含一个独立参数,这个参数与在不同水深时相应的水平速度有关。本章利用平面动力系统的分支方法,定性地研究此方程模型孤立波和周期波的存在条件。我们发现,在这个模型中,会出现一类新的尖峰波解—尖峰型周期波。第五章进一步研究上述Nwogu型Boussinesq方程模型,考察相向而行的孤立波的对撞问题。通过摄动方法,首先得到了方程的近似解。其次分析孤立波对撞的力学特征。由于模型包含独立参数,着重分析这个独立参数对于对撞的相移和最大波幅的影响；并将所得结果与经典可积的Boussinesq方程进行了比较。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第一章 绪论
• 1.1 Minkowski空间中相对论膜的研究现状
• 1.2 Nwogu型Boussinesq方程的研究现状
• 1.3 本文的主要结果
• 1+n中相对论膜的运动方程'>第二章 Minkowski空间R¹⁺ⁿ中相对论膜的运动方程
• 2.1 引言
• 1+n中相对论膜的运动方程的推导'>2.2 Minkowski空间R¹⁺ⁿ中相对论膜的运动方程的推导
• 2.2.1 变分方法
• 2.2.2 几何方法
• 2.3 类时极值子流形方程的性质
• 2.4 强零条件和极值子流形方程的平面波解
• 1+n中相对论膜运动方程的等价性'>第三章 Minkowski空间R¹⁺ⁿ中相对论膜运动方程的等价性
• 3.1 引言
• 3.2 相对论膜运动方程的等价性
• 3.3 相对论弦运动方程的等价性
• 3.4 Noether第二定理
• 第四章 Nwogu型Boussinesq方程的孤立波和周期波
• 4.1 引言和预备知识
• 4.2 平面动力系统的分支分析和平面相图
• 4.3 光滑和非光滑的行波解
• 第五章 Nwogu型Boussinesq方程孤立波的对撞
• 5.1 引言
• 5.2 摄动分析
• 5.2.1 （?）的系数
• 2的系数'>5.2.2 （?）²的系数
• 3的系数'>5.2.3 （?）³的系数
• 5.3 结果分析
• 5.3.1 相移
• 5.3.2 对撞的最大波幅
• 5.4 与经典Boussinesq方程的比较
• 参考文献
• 致谢
• 论文资助情况
• 在读期间完成论文情况