准晶体学点群的对称性及其母子群关系链

论文摘要

用群论的方法逐一推导了二维准晶系列（包括五角、十角、八角和十二角晶系）的各个点群，得出了每个点群的全部对称操作、生成操作、群阶、直积群或半直积群关系式。全部对称操作确定了，点群也就确定了。由点群的生成操作，可以推导出该点群中其余所有的对称操作。由点群的群阶能够知道其最大子群的群阶。直积群或半直积群关系式直接给出了直积群或半直积群的最大不变子群。用结晶学的理论，逐一推导并绘制出二维准晶系列的26个点群的极赤投影图。加上前人早已推导并绘制出的晶体学32个点群及二十面体两个点群的极赤投影图。本论文绘制出了准晶体学和晶体学总共60个点群的极赤投影图。这些极赤投影图不仅很清晰的反映了各点群的对称性，而且能用来进行各种对称操作，还被直接用于点群退化的推导。分别填写出二维准晶系列中三个极大固有点群10 22、822和12 22的群乘表，运用这三个群乘表及旋转倒反操作万与相应的旋转操作n的关系，可以计算二维准晶系列任意一个点群中任意两个对称操作的乘积。这给各对称操作矩阵的推导带来很大的方便。分别在三维直角坐标系和十角坐标系中，推导出五角和十角晶系全部（共40个）对称操作的两套矩阵，并算出了五角和十角晶系各对称操作矩阵的迹tr（W）与行列式det（W）。三维直角坐标系中矩阵的元有多达11种的可能取值：除了0和±1外，还出现了两对实二次域的无理数和两对实四次域的无理数。十角坐标系中矩阵的元只有五种可能取值：0，±1，±τ(τ=(51／2+1)／2是实二次域的无理数，是黄金分割比例值)。各10次和5次旋转及旋转倒反操作矩阵的迹tr（W），分别是±τ、±（τ+1）、±（τ-1）和±（τ-2），都是实二次域的无理数。可见τ就是反映五角和十角晶系准晶体所具有的准周期性的特殊无理数。由此也可以判定，五角和十角晶系的对称操作在本文定义的十角坐标系中的矩阵表示，是三维空间中形式最为简捷的一种矩阵表示。分别在三维直角坐标系和八角坐标系中，推导出八角晶系全部（共32个）对称操作的两套矩阵，并算出了八角晶系各对称操作矩阵的迹tr（W）与行列式det（W）。三维直角坐标系中矩阵的元有五种可能取值：0、±1和±21／2／2。八角坐标系中矩阵的元也有五种可能取值：0，±1和±21／2。各8次旋转及旋转倒反操作矩阵的迹，分别是±(21／2-1)和±(21／2+1)，都是实二次域的无理数。可见21／2就是反映八角晶系准晶体所具有的准周期性

论文目录

摘要

ABSTRACT

第一章引言

1.1 准晶研究概况

1.2 准晶体学点群对称性的研究现状

1.3 本论文的研究内容及意义

1.3.1 本论文的研究内容

1.3.2 本论文的研究意义

第二章群论基础简介

2.1 群及其乘法表

2.1.1 群的定义

2.1.2 群的基本概念

2.1.3 群的乘法表

2.1.4 同构群

2.2 共轭元和类

2.2.1 共轭元

2.2.2 类

2.3 子群

2.3.1 子群与母群

2.3.2 共轭子群

2.3.3 不变子群

2.4 直积群与半直积群

2.4.1 直积群

2.4.2 半直积群

第三章晶体学与准晶体学点群基础

3.1 点对称操作与点群

3.2 晶体学与准晶体学点群

3.3 点群的极赤投影图

3.3.1 极赤投影原理

3.3.2 晶体学点群的极赤投影图

3.3.3 二十面体晶系点群的极赤投影图

3.4 点群之间的母子群关系

3.4.1 晶体学点群之间的母子群关系（32个点群的家谱）

3.4.2 一般点群的最大子群链图

3.5 晶体学点群的矩阵表示

3.5.1 各晶系晶体坐标轴的选取

3.5.2 晶体学中点对称操作的矩阵表示

第四章五角和十角晶系点群的对称性与矩阵表示

4.1 三维直角坐标系与十角坐标系

4.1.1 三维直角坐标系的选取

4.1.2 十角坐标系的定义

4.1.3 对称元素的空间方位在两种坐标系中的表述方式

4.2 五角晶系各点群的推导和极赤投影图

4.2.1 推导点群5

4.2.2 推导点群5|-

4.2.3 推导点群52

4.2.4 推导点群5m

4.2.5 推导点群5|-（2/m）

4.2.6 小结

4.3 十角晶系各点群的推导和极赤投影图

4.3.1 推导点群10

4.3.2 推导点群（10）|-

4.3.3 推导点群（10）/m

4.3.4 推导点群10 22

4.3.5 推导点群10mm

4.3.6 推导点群（10）|-2m或（10）|-m2

4.3.7 推导点群（（10）/m）（2/m）（2/m）

4.3.8 小结

4.4 极大固有点群10 22的群乘表

4.5 以点群（（10）/m）（2/m）（2/m）为顶的最大子群链

4.5.1 五角和十角晶系中各点群间的母子群关系

4.5.2 十角晶系各点群在低级晶族中的最大子群

4.5.3 五角晶系各点群在低级晶族中的最大子群

4.5.4 以点群（（10）/m）（2/m）（2/m）为顶的最大子群链

4.6 五角和十角晶系对称操作在三维直角坐标系中的矩阵表示

4.6.1 纯旋转操作在三维直角坐标系中的矩阵表示公式

4.6.2 固有点群10的十个纯旋转操作的矩阵

4.6.3 旋转轴在 XY平面内的十个2次纯旋转操作的矩阵

4.6.4 二十个旋转倒反操作的矩阵

4.6.5 小结

4.7 五角和十角晶系对称操作在十角坐标系中的矩阵表示

+在十角坐标系中的矩阵'>4.7.1 生成操作10⁺在十角坐标系中的矩阵

4.7.2 生成操作200在十角坐标系中的矩阵

4.7.3 生成操作1|-在十角坐标系中的矩阵

4.7.4 其余各对称操作在十角坐标系中的矩阵

4.7.5 小结

第五章八角晶系点群的对称性与矩阵表示

5.1 三维直角坐标系与八角坐标系

5.1.1 三维直角坐标系的选取

5.1.2 八角坐标系的定义

5.1.3 对称元素的空间方位在两种坐标系中的表述方式

5.2 八角晶系各点群的推导和极赤投影图

5.2.1 推导点群8

5.2.2 推导点群8|-

5.2.3 推导点群8/m

5.2.4 推导点群822

5.2.5 推导点群8mm

5.2.6 推导点群8|-2m或8|-m 2

5.2.7 推导点群（8/m）（2/m）（2/m）

5.2.8 小结

5.3 极大固有点群822的群乘表

5.4 以点群（8/m）（2/m）（2/m）为顶的最大子群链

5.4.1 八角晶系中各点群间的母子群关系

5.4.2 八角晶系各点群在四方晶系中的最大子群

5.4.3 以点群（8/m）（2/m）（2/m）为顶的最大子群链

5.5 八角晶系对称操作在三维直角坐标系中的矩阵表示

5.5.1 固有点群8的八个纯旋转操作的矩阵

5.5.2 旋转轴在 XY平面内的八个2次纯旋转操作的矩阵

5.5.3 十六个旋转倒反操作的矩阵

5.5.4 小结

5.6 八角晶系对称操作在八角坐标系中的矩阵表示

+在八角坐标系中的矩阵'>5.6.1 生成操作8⁺在八角坐标系中的矩阵

0°在八角坐标系中的矩阵'>5.6.2 生成操作2_0°在八角坐标系中的矩阵

5.6.3 生成操作1|-在八角坐标系中的矩阵

5.6.4 其余各对称操作在八角坐标系中的矩阵

5.6.5 小结

第六章十二角晶系点群的对称性与矩阵表示

6.1 三维直角坐标系与十二角坐标系

6.1.1 三维直角坐标系的选取

6.1.2 十二角坐标系的定义

6.1.3 对称元素的空间方位在两种坐标系中的表述方式

6.2 十二角晶系各点群的推导和极赤投影图

6.2.1 推导点群12

6.2.2 推导点群（12）|-

6.2.3 推导点群12/m

6.2.4 推导点群12 22

6.2.5 推导点群12mm

6.2.6 推导点群（12）|- 2m或（12）|-m2

6.2.7 推导点群（（12）/m）（2/m）（2/m）

6.2.8 小结

6.3 极大固有点群12 22的群乘表

6.4 以点群（（12）/m）（2/m）（2/m）为顶的最大子群链

6.4.1 十二角晶系中各点群间的母子群关系

6.4.2 十二角晶系各点群在六角和四方晶系中的最大子群

6.4.3 以点群（（12）/m）（2/m）（2/m）为顶的最大子群链

6.5 十二角晶系对称操作在三维直角坐标系中的矩阵表示

6.5.1 固有点群12的十二个纯旋转操作的矩阵

6.5.2 旋转轴在 XY平面内的十二个2次纯旋转操作的矩阵

6.5.3 二十四个旋转倒反操作的矩阵

6.5.4 小结

6.6 十二角晶系对称操作在十二角坐标系中的矩阵表示

+在十二角坐标系中的矩阵'>6.6.1 生成操作12⁺在十二角坐标系中的矩阵

0°在十二角坐标系中的矩阵'>6.6.2 生成操作2_0°在十二角坐标系中的矩阵

6.6.3 生成操作1|-在十二角坐标系中的矩阵

6.6.4 其余各对称操作在十二角坐标系中的矩阵

6.6.5 小结

第七章三维晶体学和准晶体学60个点群的母子群关系链（家谱）

7.1 二十面体晶系各点群的最大子群

7.1.1 点群235的最大子群

7.1.2 点群2/m3|-5|-的最大子群

7.2 三维晶体学和准晶体学60个点群的母子群关系链（家谱）

第八章晶体学和准晶体学点群所有对称操作矩阵的迹与行列式

第九章总结

致谢

参考文献

准晶体学点群的对称性及其母子群关系链

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