波传播的单位分解有限元法

论文摘要

弹性波传播问题的研究在许多科学和技术领域都有着广泛的应用。例如:通过研究弹性波传播中的衍射现象来解释和研究结构中的动应力集中问题:通过研究真实或人工地震产生的波动以了解地球的内部结构;通过研究地下间断的反射波可以大概地知道可能含油的地层;对材料和结构进行无损探伤;在土木工程领域对地基和地下建筑进行强度和结构分析;在医学上对人体物理信息探测所使用的最普遍的B超和CT等等都与弹性波传播理论有着密切的关系。 有限单元法是求解波传播问题的主要数值方法之一。虽然它有很多优点,并成功地模拟了很多波传播问题,但同样存在许多不足之处。事实上,Zienkiewicz把短波问题的数值模拟视为有限元法尚未解决的两个主要问题之一。例如,为使结果达到可接受的程度,一般说来低阶的有限单元每个波长需要至少布置10个节点。由此导致计算时需要的内存较大,耗时较多,计算效率低下。并且,低阶的有限单元有比较严重的频散特性,高阶的有限单元则可能产生虚假的波动。单位分解有限元法（PUFEM）是近十年来发展起来的数值方法,它使得有限元插值空间中可以包含所求问题解的已知解析信息。因此它可以胜任许多传统有限元方法不能处理得很好或者需要非常大计算量的问题。 本文首先回顾了PUFEM的理论基础和现有工作,然后针对传统有限元法模拟短波传播问题的严重局限性,利用PUFEM插值空间中可包含所求问题解的已知信息的特点,主要进行了以下工作:1.首次发展了一种用于瞬态弹性波传播数值模拟的单位分解有限元模型,有限元空间由形成单位分解的标准有限单元形函数乘以定义为局部子空间基函数的简谐振荡形函数构成。2.针对PUFEM单元矩阵中的被积函数具有强烈的振荡特性,应用直角坐标下的标准有限元形函数和单元内的波动方向知识提出了一种新的单元矩阵解析积分方案。3.将PUFEM应用于反平面剪切波的传播和散射问题中。对已知波传播方向时单位分解有限元如何选择局部子空间中的波数k给出了建议。4.在Zienkiewicz和Shiomi的用于高速动力过程分析的饱和多孔介质广义Biot理论u-U公式的基础上,推导和建立了基于PUFEM的饱和多孔介质动力问题的离散方程。5.在大型通用有限元分析程序LAGAMINE的框架下,编制了用于二维波传播数值模拟的PUFEM程序。数值例题显示在相同精度下,PUFEM的计算效率明显高于传统的有限元法。解析积分在计算效率上也比高斯—勒让德数值积分有大幅度的提高。各章的内容安排如下: 第一章首先对有限差分法、伪谱法、有限元法、无限元法、边界元法、谱单元法和格子法等各种用于波传播的数值方法做了简单的回顾,接下来着重介绍了以单位分

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 目录
• 第一章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 用于波传播问题的数值解法介绍
• 1.2.1 有限差分法（Finite differentce method）
• 1.2.2 伪谱法（Pseudo-spectral method）
• 1.2.3 有限单元法（Finite element method）
• 1.2.4 无限单元法（Infinite element method）
• 1.2.5 边界单元法（Boundary element method）
• 1.2.6 谱单元法（Spectral element method）
• 1.2.7 其它方法
• 1.3 单位分解有限元法（PUFEM）
• 1.3.1 广义有限元法（GFEM）
• 1.3.2 扩展有限元法（X-FEM）
• 1.3.3 波传播的单位分解有限元法
• 1.3.4 单位分解用于其它数值方法
• 1.4 饱和多孔介质和波
• 1.5 本文的主要工作
• 参考文献
• 第二章 单位分解有限元法（PUFEM）介绍
• 2.1 引言
• 2.2 有限单元法的逼近特性
• 2.3 PUFEM的数学基础
• 2.4 PUFEM与其他方法的关系
• 2.4.1 传统的h和p类有限元
• 2.4.2 数据拟合
• 2.4.3 无网格方法
• 2.4.4 数值流形方法（Numerical manifold method）
• 2.5 PUFEM的应用
• 2.5.1 二维或三维的裂纹模拟
• 2.5.2 二维和三维Helmholtz方程的短波散射问题
• 2.6 小结
• 参考文献
• 附录 数学符号说明
• 第三章 用于固体中瞬态波传播的PUFEM
• 3.1 引言
• 3.2 固体介质中波传播PUFEM的构造
• 3.3 固体动力学的单位分解有限元公式
• 3.4 求解方程组病态特性的讨论
• 3.4.1 描述矩阵病态特性的条件数
• 3.4.2 系数矩阵A病态的机理
• 3.4.3 实际计算中采用的求解技术
• 3.5 数值例题
• 3.6 小结
• 参考文献
• 第四章 波传播单位分解有限元法的解析积分
• 4.1 引言
• 4.2 标准有限元形函数的构造
• 4.3 平面直边四、八节点单元矩阵的A逆阵存在性
• 4.3.1 直边4节点单元矩阵的A逆阵存在性
• 4.3.2 直边8节点单元矩阵的A逆阵存在性
• 4.4 单元矩阵的解析积分
• 4.5 数值例题
• 4.6 小结
• 参考文献
• 第五章 PUFEM应用于反平面剪切波的传播
• 5.1 引言
• 5.2 反平面应变问题
• 5.3 固体介质中反平面剪切波传播的PUFEM
• 5.4 反平面剪切波的单位分解有限元公式
• 5.5 波数K的选择
• 5.6 数值例题
• 5.7 小结
• 参考文献
• 第六章 PUFEM应用于饱和多孔介质中的波传播
• 6.1 引言
• 6.2 饱和多孔介质的几个基本概念
• 6.2.1 有效应力原理及多孔介质骨架变形的本构关系
• 6.2.2 多孔介质孔隙流动的达西定律
• 6.3 饱和多孔介质的基本方程
• 6.4 基于u-U公式的饱和多孔介质单位分解有限元方法的构造和公式
• 6.5 数值例题
• 6.6 小结
• 参考文献
• 第七章 单位分解有限元法的程序实现
• 7.1 引言
• 7.2 程序说明
• 7.3 程序流程
• 7.4 数据格式及说明
• 第八章 总结与展望
• 8.1 总结
• 8.2 展望
• 创新点摘要
• 攻读博士学位期间完成的相关学术论文
• 致谢
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