论文摘要
本文分别针对非线性项中不含有状态变量导数及非线性项中含有状态变量导数这两种情况，研究了Caputo分数阶微分方程积分边值问题至少一个正解的存在性和多个正解的存在性.首先，利用锥拉伸与锥压缩定理证明了一类非线性项中不含有未知函数导数的分数阶微分方程积分边值问题至少一个正解的存在性定理.进一步,再利用Leggett-Williams不动点定理研究了一类非线性项带有未知函数导数的分数阶积分边值问题多个正解的存在性.在第一章中,阐述了本文研究的意义,介绍了国内外对分数阶微分方程边值问题研究的现状,概括了研究内容和文章的结构,分析了研究方法.在第二章中,介绍了本文用到的一些不动点定理,包括锥拉伸与锥压缩定理,Leggett-Williams不动点定理及其扩展定理，给出了分数阶微分和积分的概念及性质.在第三章中,我们通过构造一个特殊的锥,利用锥拉伸与锥压缩不动点定理，研究了一类非线性项中不含有未知函数导数的Caputo分数阶微分方程积分边值问题正解的存在性，给出了正解存在的充分条件.在本章最后给出相应的实例说明定理的实用性.在第四章中,利用Leggett-Williams不动点定理的扩展定理,研究一类非线性项带有Caputo分数阶导数的积分边值问题多个正解的存在性.由于非线性项中含有导数,范数的定义发生了变化,利用传统意义上的Leggett-Williams不动点定理不能解决非线性项带有导数的边值问题,我们在这里运用Leggett-Williams不动点定理的扩展定理,有关此定理的内容及出处在第二章给出.在这一章,我们首先定义范数,再构造合理的锥,最后利用Leggett-Williams定理的扩展定理来研究其正解的存在性.
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