论文摘要
顶点代数是二十世纪末发展起来的一类新的数学研究对象,它与仿射Kac-Moody代数的表示理论以及物理中的共形场理论有紧密的联系（[B01,,MS]）。格顶点代数是最重要、最基本的顶点代数之一。S.Berman、C.Dong和S.Tan研究了与toroidal李代数的表示理论有关的所谓“半格”顶点代数（[BDT]）。设L是一个偶格,VL是相应于L的格顶点代数。作为向量空间,VL是对称代数S(H（?）ct-1C[t-1])和群代数C[L]的张量积,其中H=C（?）ZL。[BDT]中考虑的格L由ci,di（i=1,…,v）张成,并有一个Z-值双线性型（·,·）使得:（ci,cj）=（di,dj）=0,（ci,dj）=δi,j。S.Berman、C.Dong和S.Tan将半格顶点代数定义为其中Lc=（?）。半格顶点代数V是格顶点代数VL的一个顶点子代数。S.Berman、C.Dong和S.Tan定义了一个结合代数A。A由eα和di生成,满足生成关系:e0=1,eα+β=eαeβ,dieα-eαdi=（di,α）eα,didj=djdi,其中α,β∈Lc,1≤i,j≤v。更重要的是,他们证明了结合代数A的（不可约）表示与半格顶点代数V的（不可约）表示之间有一个一一对应。他们可以由A的一个（不可约）表示构造出V的一个（不可约）表示,也可以由V的一个（不可约）表示得到A的一个（不可约）表示。这就意味着,为结合代数A寻找更多表示的工作是很有意义的。在本论文的第一章,我们首先定义了一个结合代数AQ。设Q=（qij）是一个元素都是非零复数的v×v复矩阵,并且满足条件:qii=1,qij=qji-1,（1≤i,j≤v）.结合代数AQ由eα,di生成,满足生成关系:e0=1,eαeβ=（?）eα+β,dieα-eαdi=（di,α）eα,didj=djdi,其中α=（?）mici,β=（?）nici∈Lc,1≤i,j≤v。当Q的所有元素都为1时,结合代数AQ就是[BDT]中定义的结合代数A。接下来,我们构造了两类不可约AQ-模:V(a1,…,av-1,b)和V（（?））。另外,我们也研究了这两类模的自同构群。A1型扩张仿射李代数的分类依赖于从欧氏空间中的半格构造的TKK代数。从欧氏空间的一个半格S出发,可以定义一个Jordan代数J（S）,然后利用所谓的Tits-Kantor-Koecher构造法可以得到一个TKK代数,进而得到一个A1型的扩张仿射李代数。B.Allison、N.Azam和S.Berman等人证明了,欧氏空间Rv中半格的相似等价类与nullity为v的A1型扩张仿射根系的同构等价类一一对应（[AABGP]）。在欧氏空间R2。中,只有两个不相似的半格S和S’,其中S是格而S’是非格半格。Jordan代数J（S）和J（S’）都有一个自然的Z2-分次。这个分次自然地诱导出TKK代数9（J（S））和BabyTKK代数G（J（S’））上的一个Z2-分次。在本论文的第二章,我们分别研究JTKK代数G（J（S））和Baby TKK代数G（J（S’））的Z2-分次自同构群。