一类具有时滞和阶段结构的传染病模型的稳定性及Hopf分支分析

论文摘要

现在,传染病仍在世界范围内广泛的存在,并且不时大面积的爆发。时常给人们的生产、生活带来巨大的影响。所以研究传染病的发展规律,对疾病的预防和控制有十分重要的现实意义。本文研究的系统是一种含有时滞的分阶段传染病模型。在文中,我们以时滞?为参数,对模型的稳定性和Hopf分支进行分析。首先,讨论系统平衡点的存在性,求出其三个平衡点,然后重点讨论系统的两个非零平衡点——无病平衡点和正平衡点的性质。我们先对无病平衡点进行分析,给出了一个条件,当其不成立时,该传染病将持续存在,不能被根除;当此条件成立时,传染病可能被根除,但它还与时滞?有关。通过讨论该系统在平衡点处的特征方程根的分布,得到一系列?值,并证明了在这些?值处横截条件成立。进而,确定了该平衡点的稳定性,即疾病能否被最终消除。然后,用类似的方法分析了正平衡点的稳定性。通过系统在该平衡点处的特征方程,也得到了一系列?值,计算在这些?值处特征根的变化趋势,得到特征根的分布情况,从而得到了正平衡点的稳定性。进而,可知当?经历这些临界值时,系统在此平衡点处经历了Hopf分支。然后,运用规范型方法和中心流形理论,我们确定了Hopf分支的方向、分支周期解的稳定性和周期的大小。最后,给出一些关于正平衡点的数值结果来说明我们的理论分析。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 课题背景
• 1.2 研究现状
• 1.3 本文的主要工作
• 第2章 平衡点的存在性及无病平衡点稳定性分析
• 2.1 平衡点的存在性
• 2.2 无病平衡点的稳定性分析
• 2.3 本章小结
• 第3章 正平衡点稳定性分析
• 3.1 稳定性分析
• 3.2 本章小结
• 第4章 正平衡点HOPF 分支的方向和稳定性
• 4.1 HOPF 分支分析
• 4.2 本章小结
• 第5章 数值模拟
• 5.1 数值结果
• 5.1.1 渐近稳定的情况
• 5.1.2 满足定理3.5 的情况
• 5.1.3 满足定理3.7 的情况
• 5.2 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 致谢