李雅普诺夫非线性微分方程零解的稳定性定理的推广及其应用

论文摘要

本文考虑非线性微分方程 dx/da =A( t ) x f (t , x) (*) 及其线性化方程 dx/dt=A( t )x (**) 的零解、概周期解的存在性、唯一性和稳定性。首先,利用指数型二分性和稳定性有关理论得到了系统(*)的零解稳定性可由其线性部分来决定,即(**)的零解的一致稳定性、一致渐进稳定性和不稳定性可蕴涵(*)的零解的一致稳定性、一致渐进稳定性和不稳定性,推广了李雅普诺夫的关于非线性微分方程零解的稳定性的相关定理,获得了一些便于应用的新的广泛的结论。接着,本文将这个结论应用到三类方程。(一)非线性微分方程; 对概周期非线性微分方程(*)进行了研究,利用指数型二分性、压缩映像原理以及稳定性有关理论得到了系统(*)的唯一的概周期解的存在性,并着重讨论了概周期解的稳定性,在一定的条件下,并分别得到了系统(*)存在着和系统(**)的零解相同稳定性的概周期解,并进一步将该结论推广到有界解、周期解的存在性、唯一性以及稳定性。(二)非线性时滞微分方程,对非线性时滞微分方程dx/dt= A( t ) x f (t , x (t r)) (***) 的概周期解进行了研究,得到了系统(***)在一定条件下存在着和非线性微分方程相似但又略有区别的结论。(三)Lienard方程; 研究了著名的Lienard方程的概周期解的存在性和稳定性和零解的稳定性的蕴涵关系。最后,对全文作了归纳、总结。

论文目录

• 第一章 引言
• 1.1 问题的提出
• 1.2 问题的解决思想
• 第二章 李雅普诺夫非线性微分方程零解的稳定性定理的推广
• 2.1 相关定义及引理
• 2.2 零解的一致渐进稳定性
• 2.3 零解的一致稳定性
• 2.4 零解的不稳定性
• 第三章 李雅普诺夫非线性微分方程零解的稳定性定理的推广定理的应用一:非线性概周期微分系统
• 3.1 概周期解的一致渐进稳定性
• 3.2 概周期解的不稳定性
• 3.3 概周期解的一致稳定性
• 第四章 李雅普诺夫非线性微分方程零解的稳定性定理的推广定理的应用二:非线性时滞概周期微分系统
• 4.1 概周期解的一致渐进稳定性
• 4.2 概周期解的不稳定性
• 4.3 概周期解的一致稳定性
• 4.4 应用实例
• 4.5 回顾线性非齐次方程
• 第五章 李雅普诺夫非线性微分方程零解的稳定性定理的推广定理的应用三:LIENARD 方程
• 5.1 研究现状
• 5.2 相关定义及引理
• 5.3 LIENARD 方程概周期解的一致渐进稳定性
• 5.4 LIENARD 方程概周期解的不稳定性
• 结论与展望
• 参考文献
• 致谢
• 个人简历表
• 读研期间发表和完成的论文目录