论文摘要
本文主要研究HUa-Kelvin变换及其在调和函数空间上的算子理论.华罗庚先生在《从单位圆盘谈起》中指出变换保持调和性,其中φα是Rn中单位球B上的实Mobius变换.为了纪念华罗庚先生,以及这一变换与Kelvin变换的相似性,我们将其命名为Hua-Kelvin变换.Hua-Kelvin变换是一个具体的加权复合算子.复合算子在数学与物理尤其是动力系统中发挥了重要作用。尽管复合算子在解析函数空间上的研究已经十分成熟,但是至今仍缺少调和函数空间上相应理论.本文在该领域进行了新的尝试.研究调和函数空间中复合算子理论,首要问题是哪些算子保持调和性.刘太顺证明了实单位球上全体保调和映射一定是共形映射.利用这一结果,我们可以得到实单位球上保调和变换的完全刻画,即单位球上保调和变换一定可以分解为以下两种情形的复合：（i）Hua-Kelvin变换.（ⅱ）复合算子Cψ:u→uοψ其中ψ:αΚx+b,α∈R,b∈Rn,Κ∈O（N）且满足|α|+|b|≤1.这表明Hua-Kelvin变换在调和函数复合算子理论中具有核心地位.本文研究了Hua-Kelvin变换在调和Hardy空间和调和Bergman空间上的算子理论.内容如下.第二章建立了一个积分公式,其中x,α∈B},κ=0,1,2,…λ∈C.这个积分公式推广了Forelli-Rudin型估计,是我们研究调和函数空间算子理论的基本工具.第三章证明了单位球上保调和变换一定是Hua-Kelvin变换以及平移、伸缩、旋转的复合.第四章研究了Hua-Kelvin变换作为调和Hardy空间hp（B）上的算子理论,讨论了它的算子有界性,紧性,本性正规性和谱半径.具体结果如下.Hua-Kelvin变换作为调和Hardy空间hp（B）上算子,我们给出了其精确算子范数注意到Hua-Kelvin变换在调和Hardy空间上的算子范数是p的分段函数.临界指标是2*=2（n-1）/（n-2）,它也是2的临界Sobolev迹指标.这个指标是俄国数学家Sobolev证明Sobolev空间嵌入定理时引入的,并在偏微分方程中发挥了重要作用Hua-Kelvin变换的范数和Sobolev指标这一联系的深层次原因尚不得知.在Banach空间的算子理论中,如果一个算子的范数等于该算子在一列正规化的再生核上的极限值,则称该算子具有再生核极大性Bourdon和Retsek研究了单位圆盘中全纯Hardy空间上的全纯复合算子何时具有再生核极大性.我们证明了Hua-Kelvin变换作为单位球中调和Hardy空间上的算子具有再生核极大性.特别,其中py表示调和Hardy空间h2（B）上正规化的延拓Poisson核.这个公式的证明具有一定的难度.Shapiro在解析函数空间的复合算子理论的研究中引入了本性范数的概念.本性范数可用于刻画一个算子与紧算子相差多少,它是算子到紧算子的最小距离.由于本性范数一定小于或等于范数,自然的问题是何时等号成立.该文证明了Hua-Kelvin变换,作为单位球上调和Hardy空间上的有界算子,取到等号.第五章研究了Hua-Kelvin变换在调和Bergman空间bp（B）中的上述性质.第六章采用了研究Hua-Kelvin变换的技巧,研究了一类Bergman型算子Tα我们得到了其精确范数这一结果肯定地回答了Choe, Koo与Nam提出的算子Tα的范数在α→-1时的阶是否是（α+1）-1的公开问题.Hua-Kelvin变换是调和函数空间上关于Mobius变换的加权复合算子.由于Mobius变换密切联系了双曲几何,广义相对论和gyrogroups理论.因此Hua-Kelvin变换具有广阔的应用前景.