McKay箭图与自入射代数

论文摘要

1980年，McKay提出了McKay箭图的概念并且指出对于SL（2，C）的有限子群G，其McKay箭图就是扩张Dynkin图（?）n，（?）n，（?）6，（?）7，（?）8和经典的McKay对应：SL（2，C）的有限子群G的表示和Klein奇点C2／G的极小分解的上同调的一一对应。本文主要考虑高维的情形McKay箭图的情形，他们具有什么形状?我们利用斜群代数的办法将McKay箭图与Koszul Artin-Schelter正则代数和Koszul自入射代数之间联系起来，从而利用Loewy矩阵的性质得到了McKay箭图的一系列刻画，实际上是通过对Loewy矩阵的刻画来决定高维情形的McKay箭图，同时决定有限复杂度Koszul自入射代数。在第1章我们介绍一些预备知识，回忆McKay箭图的定义以及从图的角度给出它的一些刻画。从GL（m，C）的有限子群利用斜群代数的办法得到Artin-Schelter正则Koszul代数和Loewy长度为m+1的Koszul自入射代数，而对于Koszul自入射代数我们可以定义Loewy矩阵，这样就建立了McKay箭图及自入射代数与Loewy矩阵的联系，并且给出Loewy矩阵的性质。而Loewy矩阵的特征值是个很好的性质，我们证明它恰好就是分圆多项式的根。在第2章我们回顾了分圆多项式的性质，证明了Euler函数的一个简单性质；对n＞2且n≠6，φ（n）≥n1/2。探讨Loewy矩阵的特征多项式和分圆多项式之间的紧密联系：f（x）=multiply from∑di=degf（x）λdi（x）。在第3章我们定义了3-特征根，并且决定了3-特征根对应的箭图；由此进一步确定仅有三个互不同构的不可约表示的SL（3，C）的有限子群McKay箭图，并在这些箭图定义上根四次方为零的自入射Koszul代数。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 前言
• 第一章 预备知识
• 1.1 McKay箭图的定义
• 1.2 斜群代数
• 1.3 Loewy矩阵
• 第二章 Loewy矩阵和分圆多项式
• 2.1 分圆多项式
• 2.2 Euler函数
• 2.3 特征多项式和分圆多项式
• 第三章 应用
• 3.1 长度为1的3-特征根的箭图
• 3.2 根四方为零的Koszul自入射代数
• 3.3 McKay箭图其对应的群
• 参考文献
• 附录一 攻读硕士学位期间完成的论文
• 附录二 致谢