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达尔文模型的数值解及其应用

2020-11-28阅读(983)

达尔文模型的数值解及其应用

论文摘要

当没有高频现象或电流变化不快时,达尔文模型是麦克斯韦方程组的一个很好的逼近模型。1992年,Degond和Raviart在[1]研究了达尔文模型与麦克斯韦方程组的关系。他们在三维有界单连通区域把电场E分解为ET与EL之和,其中ET满足（?）·ET=0,EL满足（?）×EL=0.通过对麦克斯韦方程组忽略（?）,从而得到达尔文模型,我们记ED=ETD+ELd,BD为E和B的逼近,他们的逼近性是（?）,其中η=（?）,（?）是特征速度,c是光速。事实上,有如下结果（见[1]）（1）ELD=EL=-（?）,其中（?）为下述泊松方程狄利克雷问题的解:其中αi,0≤i≤m是微分方程的解.这里,Xi满足其中δij=C(ij表示（?）.而αi0依赖于EL的初始条件.（2）BD为下述问题的解:（3）ETD为下面问题的解:1997年,Ciarlet和Zou[2]研究了达尔文模型椭圆边值问题在三维有界单连通区域的解.他们建立了H（curl;Ω）和H（curl,div;Ω）变分公式,并分别用Nedelec有限元和H1（Q）有限元求解该变分问题,还分析了其收敛性.2003年,Ying和Li[3]在二维无界区域中研究了达尔文模型中电场的适定性,还用无限元方法求解了该问题,他们分析了收敛阶并提供了数值例子.最近,Fang和Ying在[19]研究了达尔文模型在三维无界区域的解,他们建立了变分公式,证明了适定性,并提供了数值例子.本文绪论部分分别介绍了麦克斯韦方程组和达尔文模型的背景,我们还简单介绍了无限元方法的思想及其求解拉普拉斯方程的具体过程.本文第二章主要是讨论达尔文模型在二维有界多连通区域的解,我们通过引入一个变量p,先建立混合变分公式,证明其适定性和p=0,然后用P2-P0元逼近该变分问题,并分析了收敛性.在第三章中,我们重点讨论了达尔文模型中磁场在二维无界区域的解的情况.我们先建立变分公式,证明其适定性,再用无限元方法求解该变分问题,我们证明了收敛性,并提供了数值例子.因为达尔文模型的解是Stokes问题在特殊边界条件和右端项的解,所以我们在讨论磁场问题之前先阐述了Stokes问题的无限元解法.在讨论磁场的无限元解法之后,我们简单地说明了电场的一些结果.在第四章中,我们分别在二维有界多连通区域和二维无界区域讨论了达尔文模型与二维麦克斯韦方程组之间的关系,发现它们是等价的.这是二维与三维一个很大的区别。为了找出它们之间的关系,我们先分别在二维有界多连通区域和二维无界区域考虑了向量分解和麦克斯韦方程组的正则性,然后分别严格证明了达尔文模型与二维麦克斯韦方程组的等价性.在第五章中,我们在三维无界区域中分析了麦克斯韦方程组与达尔文模型之间的关系。为了找出它们的关系,我们先做了个向量分解,然后忽略了（?）,结合向量分解的结果,我们证明了在三维无界区域它们之间的逼近性与在三维有界单连通区域的逼近性相同.在第六章中,我们考虑了达尔文模型的自适应方法,在这章中我们给出了基于后验误差估计子的上界估计。

论文目录

  • 中文摘要
  • 英文摘要
  • 第一章 绪论
  • §1.1 本文概要
  • §1.2 麦克斯韦方程组
  • §1.2.1 麦克斯韦方程组的推导及物理背景
  • §1.2.2 麦克斯韦方程组的适定性
  • §1.2.3 麦克斯韦方程组的数值方法
  • §1.3 达尔文模型的背景
  • §1.3.1 预备知识,向量分解
  • §1.3.2 达尔文模型的推导
  • §1.3.3 达尔文模型与麦克斯韦方程组的关系
  • §1.3.4 达尔文模型的数值方法
  • §1.4 无限元方法
  • 第二章 二维有界多连通区域上的达尔文模型及其数值计算
  • §2.1 准备知识及符号说明
  • §2.2 达尔文模型的适定性
  • §2.2.1 Dirichlet问题的适定性
  • §2.2.2 Neumann问题的适定性
  • §2.3 达尔文模型的有限元解
  • §2.3.1 Dirichlet问题的有限元解
  • §2.3.2 Neumann问题的有限元解
  • 第三章 二维无界区域上的达尔文模型及其数值计算
  • §3.1 准备知识及符号说明
  • §3.2 Stokes问题的无限元解法
  • §3.2.1 Stokes问题的适定性
  • §3.2.2 Stokes问题的无限元逼近及收敛性分析
  • §3.2.3 无限元算法
  • §3.3 磁场的外问题及数值计算
  • §3.3.1 变分形式及适定性
  • §3.3.2 无限元逼近及收敛性分析
  • §3.3.3 算法及数值实验
  • §3.4 电场的外问题及数值计算
  • §3.4.1 无界区域电场的适定性
  • §3.4.2 无限元逼近及收敛性分析
  • §3.4.3 无限元算法
  • 第四章 二维麦克斯韦方程组与达尔文模型的等价性
  • §4.1 预备知识
  • §4.2 二维有界多连通区域
  • §4.2.1 二维有界多连通区域的向量分解
  • §4.2.2 二维有界多连通区域麦克斯韦方程组解的正则性
  • §4.2.3 在二维有界多连通区域TE,TM模型与达尔文模型的等价性
  • §4.3 无界区域
  • §4.3.1 无界区域的向量分解
  • §4.3.2 无界区域TE,TM模型解的正则性
  • §4.3.3 在二维无界区域TE,TM模型与达尔文模型的等价性
  • 第五章 三维无界区域中达尔文模型对于麦克斯韦方程组的逼近性
  • §5.1 预备知识
  • §5.2 三维无界区域的向量分解
  • §5.3 三维无界区域的达尔文模型
  • §5.4 误差估计
  • 第六章 用自适应方法求解达尔文模型
  • §6.1 预备知识
  • §6.2 基于后验误差估计子的上界估计
  • 第七章 总结
  • 参考文献
  • 攻读博士学位期间的研究成果
  • 致谢

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