关于加倍测度和拟对称映射的若干研究

论文摘要

在欧氏空间上,我们将集合按照其Lebesgue测度是否为零分成了两类：胖集和瘦集。设集合E（?）[0,1]n,称E为胖集,如果Ln（E）>0；称E是瘦集,如果Ln（E）=0,其中Ln（E）表示集合E的n维Lebesgue测度。然后我们又将胖集（或瘦集）各自分成了三个小类：非常胖（瘦）、相当胖（瘦）、有一点胖（瘦）,其定义如下：设E是[0,1]n上的一个胖集,（1）称E是非常胖的,如果对所有[0,1]n上的加倍测度μ都有μ（E）>0；（2）称E是相当胖的,如果存在常数1<K1<K2<∞,任给[0,1]n上的K1-加倍测度μ,有μ（E）>0；但存在[0,1]n上的一个K2-加倍测度v,使得v（E）=0；（3）称E是有一点胖的,如果对任意K>1,存在[0,1]n上的一个K-加倍测度μ,使得μ（E）=0。对瘦集也有类似的分类。设E是[0,1]n上的一个瘦集,（1）称E是非常瘦的,如果对所有[0,1]n上的加倍测度μ都有μ（E）=0；（2）称E是相当瘦的,如果存在常数1<K1<K2<∞,任给[0,1]n上的K1-加倍测度μ,有p（E）=0,但存在[0,1]n上的一个K2-加倍测度v,使得v（E）>0；（3）称E是有一点瘦的,如果对任意K>1,存在[0,1]n上的K-加倍测度μ,使得μ（E）>0。在一维实直线上,我们研究了均匀Cantor集的胖性与瘦性。在二维平面上,我们研究了Sierpinski地毯的胖性与瘦性。本文主要分为两个部分。第一部分,即第三章,研究了一维实直线上的均匀Cantor集的胖性与瘦性。均匀Cantor集按照上面的分类方式可以分为六小类。Han-Wang-Wen[37]研究了非常胖和非常瘦这两小类均匀Cantor集,他们给出了均匀Cantor集非常胖和非常瘦的充要条件。由他们的结果得到启发,我们讨论了剩下的四小类均匀Cantor集,给出了均匀Cantor集相当胖、有一点胖、相当瘦、有一点瘦的充要条件。这样,均匀Cantor集的胖性与瘦性就得到了完整的刻画。我们得到了下面的结果：设E=E（{nk},{ck}）是一个胖的均匀Cantor集,则E是有一点胖的当且仅当对所有0<p<1,有∑k=1∞（nkck）p=∞；E是相当胖的当且仅当存在常数0<p<q<1,使得∑k=1∞（nkck）q<∞,且∑k=1∞（nkck）p=∞。另外,对瘦的均匀Cantor集也有类似的刻画。设E=E（{nk},{ck}）是一个瘦的均匀Cantor集,则E是有一点瘦的当且仅当对所有p>1,有∑k=1∞（nkck）p<∞；E是相当瘦的当且仅当存在常数1<p<q<∞,使得∑k=1∞（nkck）q<∞,且∑k=1∞（nkck）p=∞。第二部分,即第四章,研究了二维平面上的Sierpiriski地毯的胖性与瘦性。Sierpinski地毯的构造方法与中间区间Cantor集的构造方法是相似的。我们也将Sierpinski地毯分成了六小类：非常胖、相当胖、有一点胖、非常瘦、相当瘦和有一点瘦。我们给出了描述这六个小类的充要条件。我们得到了下面的结果：设S（{mk}）为一个胖的Sierpinski地毯,则S（{mk}）是非常胖的当且仅当对所有p∈（0,2）,有∑k=1∞（mk-1）p<∞；S（{mk}）是相当胖的当且仅当存在常数0<p<q<2,使得∑k=1∞（mk-1）q<∞,但∑k=1∞（mk-1）p=∞；s（{mk}）是有一点胖的当且仅当对所有p∈（0,2）,有∑k=1∞（mk-1）p=∞。对瘦的Sierpinski地毯我们也得到了类似的结果。设S（{mk}）为一个瘦的Sierpinski地毯,则S（{mk}）是非常瘦的当且仅当对所有p>2,有∑k=1∞（mk-1）p=∞；S（{mk}）是相当瘦的当且仅当存在常数2<p<q<∞,使得∑k=1∞（mk-1）q<∞,但∑k=1∞（mk-1）p=∞；S（{mk}）是有一点瘦的当且仅当对所有p>2,有∑k=1∞（mk-1）p<∞。

论文目录

摘要

Abstract

第一章引言及本文的主要结果

第二章预备知识及文献综述

2.1 加倍测度

2.1.1 加倍测度的定义及性质

2.1.2 加倍空间的定义及性质

2.1.3 加倍测度的存在性

2.1.4 加倍测度的奇异性与绝对连续性

2.2 拟对称映射

2.2.1 一般度量空间上的拟对称映射

2.2.2 实直线上的拟对称映射

2.2.3 共形维数

2.3 加倍测度和拟对称映射

p-权'>2.3.1 A_p-权

2.3.2 度量加倍测度

第三章均匀Cantor集的胖性与瘦性

3.1 相关概念及主要结果

3.1.1 均匀Cantor集的构造及性质

3.1.2 一维实直线上的胖集与瘦集的定义

3.1.3 本章的主要结论

3.2 主要结果的证明

3.2.1 相关引理及其证明

3.2.2 定理3.8的证明

3.2.3 定理3.9的证明

3.3 定理3.8和定理3.9的一些应用

第四章 Sierpinski地毯的胖性与瘦性

4.1 相关概念及主要结果

4.1.1 Sierpinski地毯的构造及性质

4.1.2 二维平面上胖集和瘦集的定义

4.1.3 本章的主要结论

4.2 主要结论的证明

4.2.1 相关引理

4.2.2 定理4.4的证明

4.2.3 定理4.5的证明

第五章若干尚待解决的问题

参考文献

攻读博士学位期间取得的研究成果

致谢

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