关于渐近线性和超线性椭圆型方程解的存在性

论文摘要

微分方程的研究可以追溯到上个世纪.微分方程中的变分法是研究椭圆型方程的主要方法之一,其基本思想是：把求解非线性椭圆型方程的解的问题归结为求某一泛函的临界点问题.而求临界点常用的方法是应用山路引理,为了应用该引理,往往需要（AR）条件,但是在很多情况下（AR）条件是不满足的.本文就是在（AR）条件不满足的情况下,利用变形的山路引理研究了渐近线性和超线性椭圆型方程解的存在性.（1）考虑渐近线性Kirchhoff型椭圆方程问题其中Q是RN中具有光滑边界（?）Ω的有界区域.首先,证明方程所对应的泛函I满足山路引理的几何结构,并得到泛函的（P-S）序列；其次,证明该（P-S）序列有界；最后,证明泛函I的有界（P-S）序列有强收敛的子列,且收敛于方程的一个正解.（2）考虑下列椭圆型方程的Dirichlet问题其中Ω是RN中具有光滑边界（?）Ω的有界区域,-△p是P-Laplace算子,且-Δp（u）=-div（|Du|p-2Du）,首先,证明方程所对应的泛函I满足山路引理的几何结构,并得到泛函的Cerami序列；其次,证明该Cerami序列有界；最后,证明泛函I的有界Cerami序列有强收敛的子列,且收敛到方程的非平凡弱解.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 渐近线性Kirchhoff椭圆型方程正解的存在性
• 1.3 超线性椭圆型方程非平凡弱解的存在性
• 第2章 一类渐近线性椭圆型方程正解的存在性
• 2.1 预备知识
• 2.2 几个重要的引理
• 2.3 渐近线性Kirchhoff椭圆型方程正解的存在性定理
• 第3章 一类超线性椭圆型方程非平凡弱解的存在性
• 3.1 预备知识
• 3.2 几个重要的引理
• 3.3 超线性椭圆型方程非平凡弱解存在性定理
• 第4章 总结
• 参考文献
• 致谢