关于调和映射、双调和映射和p-调和映射的研究

论文摘要

解析函数是复分析中的重要研究对象.作为解析函数的推广,复平面c上的调和映射也越来越得到了人们的关注.1952年,Heinz就利用此类映射来研究单位圆盘上无参最小曲面的Gauss曲率（cf. [1]）.而具有里程碑意义是1984年Clunie和Sheil-Small的论文[2].此文表明解析函数的许多经典结果对于调和映射而言仍然成立.作为调和映射的推广,双调和映射来源于许多物理问题,特别是流体力学和弹性问题,故它的研究具有明显的应用特色.作为调和映射和双调和映射的推广,在[3]中,作者定义了p-调和映射,其中p≥1.当p=1（或者p=2）时,即为调和映射（或者双调和映射）.本学位论文主要研究调和映射、双调和映射和p-调和映射的有关性质：首先确定了几种调和映射类和p-调和映射类的极值点和支点；然后讨论了p-调和映射的星形性和凸性；继而研究了双调和映射的Schwarz导数、仿射和线性不变族以及p-调和映射的从属；最后讨论了p-调和映射邻域的存在性.全文共由六章构成,具体安排如下.第一章,主要介绍了研究问题的背景和得到的主要结果.第二章,讨论了调和映射弱从属类的极值点,并把Abu-Muhanna和Hallenbeck在[4]中提出的关于解析函数从属类极值点的弱猜测推广到调和映射情形.所得结果给出了此问题的部分回答.第三章,给出了双调和映射的Schwarz导数的概念,得到了Schwarz导数解析的一些充分必要条件.同时还给出了双调和映射的仿射和线性不变族的概念,得到了有关Jacob的一些估计.第四章,主要考虑p-调和映射的从属.首先利用调和映射的分解性质,得到了p-调和映射从属的一个特征；然后考虑了从属p-调和映射积分平均的关系,从而把Schaubroeck在[5]中的相应结果推广到p-调和映射情形；其次确定了p-调和映射从属类闭凸包的两类极值点；最后讨论了p-调和映射从属序列,得到了从属序列的收敛性与该序列对应的偏导数序列收敛性的关系.第五章,利用系数不等式,确定了两类单叶p-调和映射,并研究了这些p-调和映射的星形性、凸性、极值点和支点,以及p-调和映射邻域的存在性.第六章,介绍了两类p-调和映射,考虑了它们的性质.首先讨论了p-调和映射的星形性和凸性；然后给出了两个子类的特征；其次确定了这两个子类的极值点；最后讨论了这些p-调和映射的支点和邻域的存在性.

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 1. 绪论
• 1.1 基本概念
• 1.2 调和映射和p-调和映射的极值点和支点
• 1.3 p-调和映射的星形性和凸性
• 1.4 双调和映射的Schwarz导数与仿射和线性不变族
• 1.5 p-调和映射的从属
• 1.6 p-调和映射的邻域
• 2. 调和映射弱从属类的极值点
• 2.1 引言
• 2.2 调和映射弱从属类的极值点
• 3. 双调和映射的Schwarz导数与仿射和线性不变族
• 3.1 引言
• 3.2 双调和映射的Schwarz导数
• 3.3 双调和映射的仿射和线性不变族
• 4. p-调和映射的从属
• 4.1 引言
• 4.2 几则引理
• 4.3 p-调和映射从属的特征
• 4.4 从属p-调和映射的积分平均
• 4.5 p-调和映射从属族闭凸包的极值点
• 4.6 p-调和映射的从属序列
• 5. 单叶p-调和映射类
• 5.1 引言
• p^O和HC_p^O中映射的星形性和凸性'>5.2 HS_p^O和HC_p^O中映射的星形性和凸性
• p^O、HC_p^O、HS_p∩T和HC_p∩T的极值点'>5.3 HS_p^O、HC_p^O、HS_p∩T和HC_p∩T的极值点
• p和HC_p的支点'>5.4 HS_p和HC_p的支点
• p中映射的邻域'>5.5 HC_p中映射的邻域
• （?）p（α）和N_（?）p（α）'>6. p-调和映射类M_（?）p（α）和N_（?）p（α）
• 6.1 引言
• 6.2 预备知识
• （?）p（α）和N_（?）p（α）中映射的星形性和凸性'>6.3 M_（?）p（α）和N_（?）p（α）中映射的星形性和凸性
• （?）p（α）∩T₁和N_（?）p（α）∩T₂中映射的特征'>6.4 M_（?）p（α）∩T₁和N_（?）p（α）∩T₂中映射的特征
• （?）p（α）∩T₁和N_（?）p（α）∩T₂的极值点'>6.5 M_（?）p（α）∩T₁和N_（?）p（α）∩T₂的极值点
• （?）p（α）和N_（?）p（α）的支点'>6.6 M_（?）p（α）和N_（?）p（α）的支点
• （?）p（α）∩T₂中映射的邻域'>6.7 N_（?）p（α）∩T₂中映射的邻域
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间完成的论文
• 致谢