鞍点问题的预处理

论文摘要

鞍点问题（1）是一类对称非正定的线性系统，它的来源和应用都很广泛。Mx+By=b，B’x=c，（1）其中M∈Rn×n对称正定阵，B∈Rn×m，m≤n且rank（B）=m。实际应用中导出的这类系统都是大规模的，并且系数阵具稀疏性，因此寻求解决大稀疏鞍点线性系统的有效迭代法具有重要的现实意义。前人提出了很多算法如Uzawa算法、极小残量法等。极小残量法是求解形如（1）这类大型对称非正定方程的一类有效的算法，但随剖分网格的不断加细，系数阵的病态性严重影响收敛速度。本文陈述了极小残量法的具体格式，其收敛速度完全由（1）的特征谱的性质决定。在此基础上给出预处理阵的构造方法和预处理极小残量法的具体格式。本文以Possion方程和定常Stokes方程为模型。首先采用混合有限元格式对两类模型问题进行离散，然后构造合适的预处理阵，用预处理极小残量法对生成的线性方程组进行迭代求解，并对比预处理前的条件数和迭代次数。数值实验结果表明预处理方法确实使条件数有大幅度的改善，从而使迭代次数明显减少。

论文目录

• 提要
• 第一章 引言
• §1.1 鞍点问题的来源及特点
• §1.2 现状
• 第二章 鞍点问题特征谱分析
• 第三章 极小残量法
• §3.1 极小残量算法
• §3.2 算法收敛性分析
• 第四章 预处理的极小残量法
• §4.1 预处理阵的选取
• §4.2 预处理极小残量法
• 第五章 数值实验
• §5.1 Poisson方程
• §5.1.1 Poisson方程混合变分形式
• §5.1.2 混合元格式
• §5.1.3 构造预处理阵
• §5.1.4 算例
• §5.2 定常Stokes问题
• §5.2.1 定常Stokes问题变分形式
• §5.2.2 非协调元格式
• §5.2.3 构造预处理阵
• §5.2.4 算例1
• §5.2.5 算例2
• 第六章 结论
• 参考文献
• 中文摘要
• Abstract
• 致谢