平均场倒向重随机微分方程理论及其应用

论文摘要

自从1990年[22]Pardoux和彭实戈教授的奠基性文章发表以来,倒向随机微分方程（简记：BSDE）的研究吸引了越来越多学者的关注。他们证明了倒向随机微分方程的系数（或称为生成算子）9满足Lipschitz条件,终端条件ξ平方可积的随机变量和（g（t,0,0））t∈[0,T]是一个平方可积的随机过程时,方程适应解的存在唯一性定理,以及相应的比较定理。因为要求系数满足Lipschitz条件,很多学者至力于弱化这一条件,对倒向随机微分方程的研究日益丰富。理论不仅在其它数学分支和其它学科领域中有宝贵的理论价值,而且也有重要的应用价值。1994年,Pardoux和彭实戈[23]提出了一类新的倒向随机微分方程-倒向重随机微分方程（简记为：BDSDE）,他们得到了在系数f,g均满足一致Lipschitz条件,同样终端条件ξ为一个平方可积的随机变量以及（f（t,0,0））t∈[0,T],（g（t,0,0））t∈[0,T]均为平方可积的随机过程时,方程适应解的存在唯一性定理。石玉峰等[29]给出了系数f,g在Lipschitz条件下BDSDE;解的比较定理,同时减弱对f的约束条件,得到了带连续系数f的倒向重随机微分方程最小解的存在性。2009年Buckdahn, Djehiche, Li和Peng[1]将平均场思想应用到倒向随机微分方程理论中,得到了一类新的倒向随机微分方程-平均场倒向随机微分方程（简记：平均场BSDE）,其后他们在[2]假设方程系数满足Lipschitz条件,终端条件ξ为一个平方可积的随机变量和（g（t,0,0,0,0））t∈[0,T]是平方可积随机过程时,获得了方程适应解的存在唯一性结论和相应的比较定理与逆比较定理等。受到这些工作的研究启发,本文的主要目的是借鉴Buckdahn, Djehiche,Li和Peng[1]的研究思想,研究平均场倒向重随机微分方程（简记为：平均场BDSDE）。先我们考虑一维情形,当系数f,g满足一致Lipschitz条件,终端条件ξ为一个平方可积的随机变量和（f（t,0,0,0,0））t∈[0,T], （g（t,0,0,0,0））t∈[O,T]为平方可积的随机过程时.得到方程解的存在唯一性定理和和推广的比较定理;其次分别研究非Lipschitz系数和连续系数f假设下,方程解的存在性,得到了相应的存在性定理；最后考虑多维情形,给出平均场倒向重随机微分方程解的比较定理和带连续系数的平均场倒向重随机微分方程解的存在性定理。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第1章 前言
• 1.1 倒向随机微分方程的研究现状和基础知识
• 1.2 倒向重随机微分方程的研究现状和基础知识
• 1.3 平均场倒向随机微分方程的研究现状和基础知识
• 第2章 一维平均场倒向重随机微分方程解的存在惟一性和比较定理
• 2.1 一维平均场倒向重随机微分方程解的存在惟一性定理
• 2.2 一维平均场倒向重随机微分方程的比较定理
• 第3章 一维平均场倒向重随机微分方程解的存在性定理
• 3.1 一类非Lipschitz系数的平均场BDSDEs解的存在性定理
• 3.2 带连续系数的平均场BDSDEs解的存在性定理
• 第4章 多维平均场倒向重随机微分方程解的比较定理和存在性定理
• 4.1 多维平均场倒向重随机微分方程解的比较定理
• 4.2 多维平均场倒向重随机微分方程解的存在性定理
• 4.3 研究总结与进一步研究方向
• 参考文献
• 致谢
• 学位论文评阅及答辩情况表