MELNIKOV方法在微扰系统中的混沌性判断及混沌控制

论文摘要

1975年,Li-yorke严格的用数学语言给出“混沌”的定义;从此,人们广泛的开始关注与研究系统的混沌性;随着研究的深入,人们进一步提出了混沌系统控制理论并取得不少成果,其中一些理论已广泛的应用于各个领域。因此,对混沌理论的研究有着重要的现实意义,由于系统对初值是极为敏感依赖的,这使得对系统的混沌控制使系统趋于稳定周期轨道是可能的。本文主要研究了特定生态系统的稳定性与Smale映射下的混沌性,再研究了工程中一些系统具有混沌态时的微扰控制方法及Smale映射下的混沌态分析。第一章中我们介绍了混沌与混沌控制理论的发展历史及现实状况,指出了研究混沌控制理论的必要性;同时,介绍了本文选题的出发点及其研究内容。第二章中我们介绍了混沌动力系统中的一些基本概念和理论以及本文所涉及的一些主要研究结果。第三章中我们主要研究了生态系统模型的平衡态和混沌态,一方面,通过对模型的求解,获得系统变量之间的平衡轨道方程;再利用Melnikov函数法进一步给出系统参数之间的混沌阈值;对系统的混沌态做出了警示性分析。另一方面,如果给系统一个很小的扰动量,得到一个系统（可能与原系统不同）,通过计算Melnikov函数判断系统具有Smale马蹄意义下的混沌态;换句话说:系统在双曲鞍点附近是初值敏感依赖的。从理论上进一步说明:当系统初始时刻的数量x 0与y 0充分与双曲鞍点接近时,即系统的初始解（ x1 , y1 ）与（ x0 , y0 ）无论多么接近,系统的解在t足够大时,点（φ（t , x1 , y1 ）,ψ（t , x1 , y1））与点（φ（t , x0 , y0 ）,ψ（t , x0 , y0））之间的距离始终会大于一个特定的正常数。第四章中我们主要研究了微扰法在混沌控制工程中的一些应用,首先利用数值模拟给出系统混沌态与微扰状态下具有稳定态的图像;其次再利用Melnikov方法进一步分析系统具有Smale马蹄意义下的混沌映射。如果我们提高系统的参数取值阀值,那么就可把系统的轨道控制到具有低周期轨道的稳定态。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 混沌动力学的出现与发展
• 1.2 混沌控制的研究概况
• 1.2.1 混沌控制的由来和发展
• 1.2.2 混沌控制研究的内容和任务
• 1.2.3 混沌控制的研究现状
• 1.2.4 混沌控制的方法
• 1.3 本文的选题和研究内容
• 第二章 相关背景知识介绍
• 2.1 动力系统的一些基本概念及有关结论
• 2.1.1 动力系统
• 2.1.2 动力系统中轨道的周期性
• 2.2 混沌的一些基本概念及相关结论
• 2.2.1 DEVANEY 混沌
• 2.2.2 LI—YORKE 混沌
• 2.2.3 SMALE 马蹄映射的混沌性
• 2.3 平面哈密顿系统及梅尔尼科夫方法
• 2.3.1 平面哈密尔顿系统
• 2.3.2 梅尔尼科夫函数
• 2.4 分岔理论的一些结论
• 第三章 生物系统的平衡态与混沌态研究
• 3.1 知识准备及模型的建立
• 3.2 模型求解
• 3.2.1 关于平衡态研究
• 3.2.2 关于混沌态的研究
• 3.3 数值检验
• 3.3.1 平衡态的数值检验
• 3.3.2 混沌态的数值模拟
• 3.4 结论
• 第四章 混沌控制在工程中的一些应用
• 4.1 生物系统的混沌控制
• 4.1.1 引言及模型的建立
• 4.1.2 对LOGISTI 模型二次迭代及混沌控制
• 4.1.3 对LOGISTI 模型推广及混沌控制
• 4.2 工程系统中混沌的控制
• 4.2.1 LORENZ 方程的计算机混沌模拟及控制
• 4.2.2 DUFFING 方程的混沌控制及分析
• 第五章 总结
• 致谢
• 参考文献
• 攻硕期间取得的研究成果