孤立子方程的可积系统与达布变换

论文摘要

本文研究的内容主要包括两个方面:孤立子方程的可积系统和Darboux变换。主要从以下两个方面研究了孤立子方程的可积系统:即孤立子方程族的生成及其可积性和可积族的可积耦合。在第二章中,首先根据已有的loop代数（?）1设计出许多（2+1）-维的等谱问题。作为其应用,本文得到了（2+1）-维TB方程族。其次,构造了一个向量loop代数（?）M,利用（2+1）-维的零曲率方程和屠格式得到了一个多分量的DLW可积系。在第三章中,构造了一个矩阵等谱问题,由离散的屠格式得到了具有Hamiltonian结构的一个离散的可积系统.在第四章中,首先将loop代数（?）1扩展为loop代数（?）6,并由此设计了一个新的等谱问题,求出了（2+1）-维TB族的可积耦合,借助于扩展的迹恒等式——二次型恒等式导出了其Hamiltonian结构。其次,构造了一个高维向量loop代数（?）M,推出了多分量的DLW方程族的可积耦合。最后,构造了一个6×6矩阵Lie代数,得到KN方程族的可积耦合,并用二次型恒等式进一步研究所得可积耦合系统。在第五章中,利用半直和的方法构造了一个高维Lie代数（?）,并由此设计了一个等谱问题,作为其应用得到了离散的晶格方程族KDV的可积耦合。在第六章中,利用等谱问题的规范变换,为一对耦合的非线性演化方程建立了一个具有多个参数的N-波Darboux变换,利用达布变换的方法,可以得出孤子方程的单孤子和多孤子解。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 孤立子理论的产生及其发展
• 1.2 孤立子理论研究概述
• 1.3 孤立子理论研究的意义
• 1.4 本课题研究的主要内容
• 2 连续可积方程族的生成
• 2.1 一般理论和方法
• 2.2 （2+1）-维连续可积系统
• 2.3 一类Loop代数及2+1维的多分量的可积系
• 3 离散可积方程族的生成
• 3.1 一般理论和方法
• 3.2 一族离散的可积系统
• 4 连续可积方程族的可积耦合
• 4.1 （2+1）维TB族的扩展可积模型
• 4.2 多分量DLW方程族的可积耦合
• 4.3 一类高维的LOOP代数及多变量的可积耦合
• 5 离散可积方程族的可积耦合
• 6 孤立子方程的DARBOUX变换
• 6.1 原始的DARBOUX变换
• 6.2 DARBOUX变换及其应用
• 致谢
• 攻读硕士阶段所完成的论文
• 参考文献