论文摘要
等周不等式,Minkowski不等式和Wirtinger不等式是数学,特别是几何分析中的非常重要不等式,并且Wirtinger不等式在解决2维平面几何问题中有重要作用.本文主要探索Wirtinger不等式在解决几何不等式的应用,并将进一步考虑在高维几何不等式情形的应用,我们得到了一些新的有意义的结果.我们用Wirtinger不等式给出了著名的关于平面凸集Ki,Kj的混合面积的Minkowski不等式的一个简化证明,从而得到了经典的等周不等式的又一个简化证明.本文主要分三章：第1章介绍了一些预备知识,主要是凸集的支持函数表示的周长,面积,球面调和函数和混合体积等.第2章介绍Wirtinger不等式,并用Wirtinger不等式证明了关于两个凸集Ki,Kj的面积及混合面积的Minkowski不等式,主要结果有：定理2.2(Minkowski)设Ki,Kj为欧式平面R2中的凸集,周长分别为Li,Lj,面积分别记为Ai,Aj,设Ki与Kj的混合面积为Aij,则有(Minkowski不等式)Aij2≥AiAj等号成立当且仅当Ki与Kj位似.定理2.5(Zhou)设г为R2中简单凸闭曲线,г所围成的凸域D的面积为A.若г的曲率к处处都是正的,则有∫Γ1/κds≥2A.其中s为г的弧长.等号成立当且仅当г围成一个圆盘.第3章讨论了球面上的Wirtinger不等式,并将Wirtinger不等式的应用拓广到球面上.主要结果有：定理3.3设Ki,Kj为R3中的凸体,平均曲率积分分别记为Mi,Mj,表面积分别记为Si,Sj,设K与Kj的混合表面积为Sij,则有Sij2≥Sisj.等号成立当且仅当Ki与Kj位似.