弹性接触问题的杂交Trefftz有限元解法

论文摘要

接触问题广泛存在于生产和工程实际中。待定的接触区域和摩擦效应的不可逆性使得接触问题表现出高度的非线性特征。尽管研究者们已经获得了许多接触问题的解析解,但是绝大多数的实际问题都超出了其应用范围。因此,出现了大量的求解接触问题的数值方法,这些数值方法主要是以传统有限元法和传统边界元法为基础的。作为一种高效有力的计算工具,杂交Trefftz有限元法自30年前提出以来,已经受到了愈来愈多的重视。它主要具备两个优点:其一,单元公式中只含有边界积分,这样就可以构造出任意多边形甚至曲边单元,它可以看作是一种特殊的对称形式的边界型求解方法。因此,Trefftz有限元法具备了传统边界元法的优点,而又避免了复杂奇异积分方程的计算。其二,与传统有限元法相比,Trefftz有限元法在处理带有各种因载荷、几何（如角点、孔洞、裂纹、夹杂、集中载荷等）引起的局部效应问题时,不需另外细分网格,就能得到比较理想的精度。到目前为止,Trefftz有限元法已经应用到诸多工程领域。然而,将这种有限元法应用于接触问题尚无先例。本文主要分两部分内容:对于Trefftz有限元方法本身的一些研究和基于这种有限元法开发接触问题的求解算法。从弹性平面问题的基本解析解出发,提出了建立普通单元的Trefftz函数的另一种途径。另外,在Piltner工作的基础上,通过旋转映射函数的引入以及Muskhelishvili复变函数法的应用,提出了一种新的Trefftz孔洞单元。这种新单元能够方便地分析含有任意方向椭圆孔的问题,弥补了早期Piltner孔洞单元的不足。本文首次将Trefftz有限元法应用于摩擦和无摩擦弹性接触问题。应用静凝聚将原来较大的接触模型缩聚成较小的接触模型,而只保留了可能接触区内的离散节点。缩聚后的模型降低了机时,提高了计算效率。由于接触界面方程的系数矩阵存在零主元,因此采用列主元高斯消去法进行求解。对于无摩擦情况,只需单步加载;而对于摩擦情况,则采用自动载荷增量技术进行加载。在整个应用过程中,本文提出的直接约束-Trefftz有限元法概念简单、物理意义明确、应用方便。

论文目录

• 中文摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 选题的背景
• 1.1.1 接触力学的产生
• 1.1.2 接触问题的发展和研究现状
• 1.1.3 Trefftz方法的发展现状
• 1.2 选题的意义
• 1.3 本文的主要工作
• 第二章 弹性力学平面问题的Trefftz有限元法
• 2.1 线弹性问题的基本方程与修正变分原理
• 2.2 Trefftz单元公式
• 2.3 二维弹性问题
• 2.3.1 单元域内场位移插值
• 2.3.2 单元网线位移插值
• 2.4 两种Trefftz函数性能的比较
• 2.5 特殊Trefftz孔洞单元
• 2.6 本章小结
• 第三章 弹性无摩擦接触问题的直接约束-Trefftz有限元解法
• 3.1 无摩擦接触问题的描述
• 3.2 子结构界面模型
• 3.3 界面控制方程的求解
• 3.3.1 单元类型的选择及数值积分
• 3.3.2 求解策略
• 3.4 典型数值算例
• 3.4.1 算例1-层状固体与基底的无摩擦接触
• 3.4.2 算例2-两个相同圆柱体的无摩擦接触
• 3.4.3 算例3-平冲头与弹性基础的无摩擦接触
• 3.5 本章小结
• 第四章 弹性摩擦接触问题的直接约束-Trefftz有限元解法
• 4.1 摩擦接触条件
• 4.2 增量界面模型
• 4.2.1 子结构界面方程的增量形式
• 4.2.2 载荷增量的确定
• 4.2.3 增量界面控制方程的求解
• 4.3 典型数值算例
• 4.3.1算例1-层状固体与基底的摩擦接触
• 4.3.2算例2-平冲头与弹性基础的摩擦接触
• 4.4 本章小结
• 第五章 Trefftz孔洞单元在接触分析中的应用
• 5.1 引言
• 5.2 改进的Piltner孔洞单元
• 5.3 数值积分与单元类型的选择
• 5.3.1 数值积分
• 5.3.2 单元类型的选择
• 5.4 利用新孔洞单元分析孔洞对接触行为的影响
• 5.4.1 圆孔孔径对接触行为的影响
• 5.4.2 圆孔的位置对接触行为的影响
• 5.4.3 多个孔洞对接触行为的影响
• 5.4.4 椭圆孔长轴方向对接触行为的影响
• 5.4.5 椭圆孔短长轴之比对接触行为的影响
• 5.5 本章小结
• 第六章 程序实现中的若干问题及讨论
• 6.1 外法方向余弦的计算
• 6.2 边界积分走向的确定
• 6.3 大弹性模量的处理
• 6.4 刚体位移的恢复
• 6.5 本章小结
• 第七章 结论
• 参考文献
• 发表论文和参加科研情况说明
• 致 谢