一类矩阵的AOR迭代收剑性分析及两种预条件迭代的收敛性定理

论文摘要

数学、物理、力学等学科和工程技术中许多问题的解决最终都归结为解一个或一些大型稀疏矩阵的线性方程组,而对这种方程组一般采用迭代法求解,因此迭代格式的收敛性和收敛速度便成为人们关注的焦点（见[1]-[6]）。迭代不收敛的格式自然不能用,虽然收敛但收敛很慢的格式使用起来不仅使人工和机器的时间比较浪费,而且还不一定能得出结果,因此必须寻求收敛速度比较快的格式和确定格式中的某些参数（如SOR迭代法的松弛因子）。本文第二章针对AOR迭代法考察了当线性方程组的系数矩阵A为（1,1）相容次序矩阵且其Jacobi特征值为纯虚数或零时的迭代收敛范围,最优参数（即最优松弛因子和最优加速因子）及与之相应的谱半径,并将此最优谱半径与相应的SOR的进行比较,定量的给出在不同条件下,AOR和SOR迭代法各有其优越性,从而圆满的解决了在这两种迭代法之间如何适当的选择最佳迭代法的问题。同时,我们得到了一个比较理想的结果,即当（1,1）相容次序矩阵A的Jacobi特征值仅有一对重数为n/2的纯虚数或均为零时（设其模为α）在其AOR迭代法的最优参数点γb=2/(1+（1+α2）1/2), ωb=1/（1+a2）1/2)处有P(Lγb,ωb)=0,这意味着对此类方程组用最优的AOR迭代法只需迭代n次便可求出精确解,这正是我们所渴求的最优结果。除了对迭代方法的研究和改进,对方程组本身做某些处理,如对它进行预条件也是有效改善迭代收敛性,加快迭代收敛速度的方法之一。在认真研究了目前已有的多种预条件方法（见[7]-[12]）之后,本文一方面在第三章中考虑将文献[24]中的预条件（I+Sα）应用于非奇异M-矩阵类的AOR迭代法和2PPJ（预条件双参数Jacobi方法）迭代法,从而得到这两种预条件迭代法的收敛性定理,并从理论上证明了它们较原方法提高了迭代的收敛速度。预条件（I+Sα）一直以来都是被应用于Gauss-Seidel方法的,而在这一章中它首次被应用于改善AOR迭代以及2PPJ迭代的收敛性,并且取得了很好的结果:对于H-矩阵,该预条件AOR迭代法是收敛的;对于非奇异M-矩阵,该预条件AOR迭代不仅收敛而且其谱半径小于等于原AOR迭代法的谱半径（迭代矩阵谱半径越小,收敛越快）;对于非奇异不可约M-矩阵,该预条件AOR迭代法则完全提高了迭代的收敛速度。另一方面第四章在Evans等人提出的预条件AOR迭代法的基础之上给出一种新的带参数的预条件方法,并将其应用于AOR和2PPJ迭代格式中,该方法不但提高了迭代的收敛速度,而且是文献[33]中预条件方法的进一步推广。对于以加快迭代速度为目的的预条件方法,其预条件带有与矩阵元素相关的参数给我们提供了一种新的思路。文中确定了参数的取值范围,在此范围内,AOR迭代以及2PPJ迭代的收敛性均得到了改善。

论文目录

• 第一章 引言
• 第二章 一类矩阵的AOR迭代收敛性分析及其与SOR迭代的比较
• §2.1 预备知识
• §2.2 主要结果及证明
• 2.2.1 AOR迭代的收敛范围及最优参数选取
• 2.2.2 AOR迭代与SOR迭代最优谱半径的比较
• §2.3 数值例子
• §2.4 应用
• 2.4.1 关于最小二乘问题
• 2.4.2 关于J为实反对称矩阵的方程组
• α）AOR迭代法和2PPJ迭代法的收敛性定理'>第三章 预条件（I+S_α）AOR迭代法和2PPJ迭代法的收敛性定理
• §3.1 预备知识
• 3.1.1 基本符号及含义
• 3.1.2 一些定义及引理
• α）AOR迭代法和2PPJ迭代法'>§3.2 关于预条件（I+S_α）AOR迭代法和2PPJ迭代法
• §3.3 数值例子
• 第四章 M-矩阵的一类新预条件迭代方法
• §4.1 预备知识
• 4.1.1 基本符号及含义
• 4.1.2 定义及引理
• §4.2 关于新预条件迭代法
• §4.3 数值例子
• 总结
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间的研究成果