三类分数阶偏微分方程的有限元计算

论文摘要

分数阶微积分作为整数阶（经典）微积分推广,在生物、物理、化学、工程等领域有着广泛的应用。特别地,在近几十年里,许多研究者指出分数阶微积分以及分数阶微分方程非常适合用来刻画具有记忆和遗传特性的材料和过程。由于应用的广泛性,使得分数阶微积分这一领域越来越受到人们的关注,与之相关的理论分析和数值计算等研究工作就显得尤为重要。本文主要有两大部分。第一部分讨论的是函数的分数阶可积性和可微性问题。第二部分研究了三类分数阶偏微分方程的有限元计算问题。其中这三类方程分别从空间分数阶,时空分数阶,时空分数阶且时间方向为两项分数阶导数的角度研究了数值方法,给出了理论分析,并进行了数值模拟,数值结果与理论分析相吻合。具体地说,第一章简要介绍了分数阶发展的概况和研究分数阶微分方程数值解法的实际意义。第二章讨论函数的分数阶可积性和分数阶可微性。主要给出了函数关于Riemann-Liouville积分意义下的分数阶可积性定理,关于Riemann-Liouville导数和Caputo导数意义下的分数阶可微性定理。第三章针对非线性空间分数阶Fokker-Planck方程,建立了有限元数值格式。时间方向采用差分格式,空间方向采用分数阶有限元格式,并对全局误差进行了理论分析。数值算例表明数值方法的可行性。第四章考虑的是非线性时空分数阶亚扩散和超扩散方程。在空间方向上,我们利用分数阶有限元方法来逼近；时间方向上,分别利用分数阶欧拉向后差分格式和分数阶中心差分格式来逼近亚扩散和超扩散问题。同时研究了弱解的存在唯一性、半离散格式的稳定性、以及半离散和全离散格式的误差估计。最后所给出的数值例子验证了前面的理论分析。并在数值模拟中,我们观察到了有趣的分数阶扩散现象。第五章为数值求解时空分数阶电报方程。在时间方向上我们同时使用分数阶欧拉向后差分格式和分数阶中心差分格式来逼近,在空间方向上使用分数阶有限元格式来逼近,建立了半离散格式和全离散格式,并给出了有限元理论分析。所给的数值例子验证了方法的可行性。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• §1.1 分数阶微积分的概况
• §1.2 本文的主要工作
• 第二章 分数阶可积性及分数阶可微性
• §2.1 引言
• §2.2 Abel积分方程
• §2.3 Riemann-Liouville导数
• 1意义下的分数阶可微性'>§2.3.1 函数在区间[a,b]上关于Riemann-Liouville导数在L¹意义下的分数阶可微性
• §2.3.2 关于Zygmund和Stein所讨论的分数阶可微性
• §2.3.3 关于Riemann-Liouville导数存在性的一些注记
• §2.3.4 Weierstrass函数的Riemann-Liouville导数
• §2.4 Caputo导数
• §2.5 Riemann-Liouville导数和Caputo导数与经典导数的关系
• n区域上的分数阶积分及分数阶导数'>§2.6 Rⁿ区域上的分数阶积分及分数阶导数
• 第三章 非线性空间分数阶Fokker-Planck方程的全离散格式
• §3.1 问题的来源
• §3.2 分数阶导数空间
• §3.2.1 分数阶积分和分数阶导数的相关性质
• §3.2.2 分数阶导数空间的定义及性质
• §3.3 全离散格式的数值格式
• §3.4 数值例子
• 第四章 非线性时空分数阶亚扩散和超扩散方程的数值解
• §4.1 关于时空分数阶问题的讨论
• §4.2 分数阶导数空间
• §4.3 有限差分及变分公式
• §4.3.1 亚扩散情形
• §4.3.2 超扩散情形
• §4.3.3 半离散格式的稳定性,弱解的存在唯一性
• §4.3.4 半离散格式的误差估计
• §4.4 全离散格式的误差估计
• §4.5 数值例子
• §4.6 结论与评注
• 第五章 时空分数阶电报方程的分数阶有限元逼近
• §5.1 引言
• §5.2 有限差分与半离散格式
• §5.2.1 变分解的存在唯一性
• §5.2.2 半离散格式的稳定性分析
• §5.3 全离散格式的误差估计
• §5.4 数值例子
• 第六章 总结和展望
• §6.1 总结
• §6.2 展望
• 参考文献
• 作者攻读博士学位期间完成的工作
• 致谢