具有时滞和隔离项的SIQS模型的稳定性研究

论文摘要

传染病在现实世界中是普遍存在的,从上个世纪二十年代开始人们就试图用数学模型来研究传染病的传播规律,以此为制定预防和治疗策略提供理论依据。然而,模型能预见和控制疾病的能力大大取决于模型中的假定。为了进一步考察疾病传播的行为且估计治疗战略,过去二十年主要集中在这样模型的设计和分析上。人体对疾病具有一定的免疫力,并且这种免疫不是永久的,因此在模型中含入时滞将使模型更具现实意义。对于传染病的研究,人们感兴趣的是模型中的参数满足什么条件时,该传染病会最终灭绝或流行,或最终变成地方病。最近人们更关注模型动力系统的整体的持久性和灭绝性,很多模型使用常微分方程,偏微分方程或泛函微分方程作为数学模型来刻画不同的传染病的传播规律。本文对两类时滞传染病模型的无病平衡点和地方病平衡点在阈值条件下的稳定性进行了研究分析,并在基本再生数(阈值)大于1的条件下得到了系统的持久性。本文的主要工作如下:第一、对于具有离散时滞和隔离项的SIQS模型,得到了其阈值条件,解得了该模型的无病平衡点和地方病平衡点,利用李雅普诺夫稳定性定理证明了无病平衡点在阈值小于1时的全局渐近稳定性,利用将系统线性化的方法和特征方程的方法证明了无病平衡点在阈值大于1时的不稳定性,又利用极限方程理论将系统降维和线性化的方法证明了地方病平衡点在无因病死亡,且易感人群数量一定条件下的全局稳定性,最后在没有得到系统在阈值大于1时无条件下的全局稳定性情况下,我们撇开考虑平衡点的角度,从整体上证得了系统在阈值大于1时的持久性。第二、对于具有连续时滞和隔离项的SIQS模型,同样得到了其阈值条件,利用线性化系统和特征方程的方法证明了无病平衡点在阈值小于1时的局部稳定性和阈值大于1时的不稳定性,利用构造Liapunov泛函的方法证明无病平衡点在阈值小于1时是全局吸引的,随即也就得到了无病平衡点在阈值小于1时的全局稳定性,又利用线性化系统和稳定性定理证明了系统在阈值大于1时有条件的局部渐近稳定性,在没有得到地方病平衡点稳定性的情况下同样利用与第三章类似的方法证得了系统在阈值大于1时整体上的持久性。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第1章 绪论
• 1.1 课题背景
• 1.2 研究现状与历史回顾
• 1.3 本文的主要内容和结构
• 第2章 预备知识
• 2.1 主要定义
• 2.2 主要定理
• 第3章 一类离散时滞 SIQS模型的动力学研究
• 3.1 基本模型的建立
• 3.2 系统（3-1）平衡点的稳定性分析
• 3.3 系统（3-1）的持久性
• 第4章 一类连续时滞 SIQS模型的动力学研究
• 4.1 基本模型的建立
• 4.2 系统（4-1）平衡点的稳定性
• 4.3 系统（4-1）的持久性
• 第5章 总结与展望
• 5.1 主要工作总结
• 5.2 研究展望
• 参考文献
• 附录 攻读硕士学位期间发表的学术论文
• 致谢