关于四元数矩阵方程组AX=B,XC=D解的研究

论文摘要

本文在四元数体上研究矩阵方程组AX=B,XC=D的（P,Q）-（斜）对称解、反射亚（半）正定解和反射次亚（半）正定解.全文共分为四章.第一章主要介绍四元数、四元数矩阵的一些基础知识;各种对称矩阵、亚（半）正定矩阵、次亚（半）正定矩阵的定义和基本性质以及本文所用到的研究矩阵方程的重要工具:广义逆,矩阵表达式的秩等式和双矩阵的同时分解定理.第二章主要研究以下问题;问题1:给定A∈Hs×m,B∈Hs×n,C∈Hn×t和D∈Hm×t,求X∈Hrm×n（P,Q）或X∈Ham×n（P,Q）满足矩阵方程组AX=B,XC=D.问题2:求矩阵方程组AX=B,XC=D的（P,Q）-对称和（P,Q）-斜对称解的最大秩和最小秩及其对应的解.问题3:当P,Q是厄米对合矩阵时,如果问题1的解集Ω非空,给定E∈Hm×n,求X0∈Ω使‖X0-E‖=（?）‖X-E‖.我们通过讨论（P,Q）-（斜）对称矩阵的结构性质,利用矩阵技巧和第一章所给的矩阵理论解决了上述问题,并给出了数值例子.第三章,通过讨论分块矩阵是亚（半）正定矩阵的充要条件以及反射亚（半）正定矩阵的结构性质,利用双矩阵同时分解定理得到矩阵方程组AX=B,XC=D有亚（半）正定解、反射亚（半）正定解的充要条件,以及矩阵方程组AX=B,XC=D有亚（半）正定解、反射亚（半）正定解时通解的表达式.第四章,通过讨论分块矩阵是次亚（半）正定矩阵的充要条件以及反射次亚（半）正定矩阵的性质,利用双矩阵同时分解定理得到矩阵方程组AX=B,XC=D有次亚（半）正定解、反射次亚（半）正定解的充要条件,以及矩阵方程组AX=B,XC=D有次亚（半）正定解、反射次亚（半）正定解时通解的表达式.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 研究背景、研究进展及本文所要做的工作
• 1.2 预备知识
• 1.3 几种对称矩阵
• 1.4 亚（半）正定矩阵和次亚（半）正定矩阵
• 1.5 矩阵的广义逆和某些矩阵表达式的秩公式
• 1.6 H上双矩阵的同时分解
• 第二章 矩阵方程组AX=B,XC=D的（P,Q）-（斜）对称解
• 2.1 矩阵方程组AX=B,XC=D的（P,Q）-（斜）对称解
• 2.2 矩阵方程组AX=B,XC=D的（P,Q）-（斜）对称解的极秩
• 2.3 矩阵方程组AX=B,XC=D的（P,Q）-（斜）对称解的逼近问题
• 2.4 数值例子
• 第三章 矩阵方程组AX=B,XC=D的反射亚（半）正定解
• 3.1 亚（半）正定、反射亚（半）正定矩阵
• 3.2 矩阵方程组AX=B,XC=D的反射亚（半）正定解
• 第四章 矩阵方程组AX=B,XC=D的反射次亚（半）正定解
• 4.1 次亚（半）正定、反射次亚（半）正定矩阵
• 4.2 矩阵方程组AX=B,XC=D的反射次亚（半）正定解
• 参考文献
• 读博期间完成的论文
• 致谢