具有不连续系数的椭圆与抛物方程解的正则性

论文摘要

四十多年来，大批数学家研究了具有不连续系数的椭圆与抛物方程解的局部或整体正则性。特别是借助于Calderon-Zygmund奇异积分理论，解的正则性研究得到了长足进展。1991年，Chiarenza，Frasca和Longo利用Calderon-Zygmund奇异积分算子理论研究了具有VMO系数的非散度型椭圆方程解的局部W2，p正则性，他们的方法是由凝固系数法建立起解的导数表示公式，然后再利用奇异积分和交换子的Lp估计得到解的局部正则性（[22]）。1993年他们又得到了非散度椭圆方程解的整体正则性（[23]）。随后，有大量文献研究了非散度椭圆（抛物）方程解的Lp正则性或Morrey正则性(（10，21，26，31，35，33，34，37，36，44，46，51，53，54，75]）。2000年，Ragusa研究了散度型椭圆方程的解在Morrey空间上的局部正则性[60]。2003年，王立河[79]应用Vitali覆盖引理，极大函数理论和紧性方法给出了Calderon-Zygmund估计的另外一种证明方法。利用这种方法，王立河和Byun研究了具有小BMO系数的散度型椭圆方程和抛物方程解的Lp正则性（[6，7，12，13，14]）。 本文用两种方法研究具有不连续系数的椭圆和抛物方程解的正则性：用Chiarenza，Frasca和Longo的方法研究了主系数属于VMO且具有低阶项的散度型椭圆方程的解在Morrey空间上的整体正则性和H（o|¨）lder正则性，还研究了主系数属于VMO的散度型抛物方程的解在Lp空间和Morrey空间上的局部正则性和H（o|¨）lder正则性；用王立河和Byun的方法研究了具有小BMO系数的非散度椭圆方程和抛物方程的解在Lp（p＞2）空间上的局部正则性，并给出了这些结果的应用。具体内容如下： （1）．研究了具有低阶项的散度型椭圆方程 -(aijuxi)xj+biuxi-（dju）xj+cu=divf，x∈Ω的弱解在Morrey空间中的正则性。这里主系数矩阵{aij}是对称、满足一致椭圆条件且属于Sarason函数类VMO，低阶项系数bi，di，c属于适当的Morrey空间，（?）Ω∈C1。在上述条件下，如果f∈Lp，λ（Ω）（1＜p＜∞，0＜λ＜n），u∈W01，p（Ω）是方程的解，则u属于Sobolev-Morrey空间W1，p，λ（Ω），且当p+λ＞n时u属于H（o|¨）lder空间C0，δ（（?）），特别地，当p≥2时， ‖u‖W1，p，λ（Ω）≤C(‖u‖Lp，λ（Ω）+‖f‖Lp，λ（Ω）)；

论文目录

• 目录
• 中文摘要
• 英文摘要
• 第一章 绪论
• 1.1 导引
• 1.2 具有不连续系数的椭圆和抛物方程解的正则性研究进展
• 1.3 本文的整体布局
• 第二章 具有VMO系数的散度型椭圆方程解的正则性
• 2.1 引言及主要结果
• 2.2 概念和预备知识
• 2.3 解在Morrey空间上局部正则性
• 2.4 解在Morrey空间上的边界估计
• 2.5 定理1.1和定理1.2的证明
• 2.6 定理1.3的证明
• 第三章 具有VMO系数的散度型抛物方程解的正则性
• 3.1 引言
• 3.2 一些预备结果
• p上的正则性'>3.3 解在L^p上的正则性
• 3.4 解在Morrey空间上的正则性
• 2,p正则性'>第四章 具有BMO系数的椭圆方程解的局部W^2,p正则性
• 4.1 引言及主要结果
• 4.2 一些预备结果
• 4.3 主要定理的证明
• 4.4 一个应用
• p^2,1正则性'>第五章 具有BMO系数的抛物方程解的局部W_p^2,1正则性
• 5.1 引言及主要结果
• 5.2 一些预备结果
• 5.3 主要定理的证明
• 5.4 一个应用
• 参考文献
• 已经发表或即将发表的与本文有关的主要论文目录
• 致谢