时滞随机微分系统的动力学性质研究

论文摘要

随着自然科学的不断发展,人们对现实世界的认识越来越贴近本质,因此,现实系统中不可避免的随机和非线性因素已成为众多数学家和其他领域科学家关注的焦点,特别是,近年来物理学、生命科学、工程技术、经济金融等诸多领域中推导得出大量的非线性随机模型,进一步促使了人们对非线性随机微分动力系统的理论和应用的深入研究.与确定常微分方程所描述的非线性微分动力系统比较,非线性随机微分动力系统的研究刚刚起步,目前的数学理论和方法远未成熟,特别是在随机分岔、随机极限环和随机混沌等基本概念、理论和应用方面存在大量悬而未决的科学理论问题,其理论体系很不完备,有待进一步澄清和探讨.以至于德国学者Arnold教授认为对该领域的研究还处于“Infancy”阶段.因此,进一步深入研究非线性随机微分动力系统的复杂动力学性质不仅是必要的,而且具有重要的理论意义和应用价值.本论文主要研究具有时滞的非线性随机微分系统的随机稳定性、随机分岔和随机混沌等问题,具体的研究工作如下:第一章为绪论,主要简述了时滞随机微分动力系统发展概况及随机稳定性、随机分岔和随机混沌的研究进展,并介绍了本文问题产生的背景和一些相关的预备基本知识.第二章,主要考虑具有时滞的二维随机微分系统的随机稳定性和随机分岔问题.首先利用时滞退化原理、一阶或二阶标准随机平均法分别给出具有时滞的一般二维随机微分系统所对应的随机平均方程的具体表达式.其次,将所得随机平均方程的相应表达式与奇异边界值和遍历性中的相关理论有机结合,获得了随机平均方程的随机稳定性条件,严格地证明了随机平均方程的随机分岔的存在性,进一步建立了具有时滞的一般二维随机微分系统的随机稳定性与随机分岔的解析判据.然后,将所得到的理论结果应用到随机海洋结构模型.第三章,主要考虑具有两个不同时滞的随机拟不可积Hamilton系统的动力学性质.运用随机拟不可积平均法、遍历性和奇异边界值中的相关理论,获得了时滞随机拟不可积Rayleigh-van der Pol振子和耦合Rayleigh-van der Pol振子的随机稳定性、随机分岔与随机极限环存在性的判据.所用方法与以往不同,所得的结果推广和改进了最近文献中的相关结果.第四章,主要考虑时滞随机拟可积Hamilton系统和拟部分可积Hamilton系统的动力学行为.首先,基于随机中心流形理论、遍历性、随机拟可积平均法,获得了时滞随机拟可积Du?ng-van der Pol振子的随机稳定性、随机分岔与随机极限环存在性的解析判据.其次,运用随机拟部分可积平均法、遍历性、共振和非共振相关理论,得到具有四个自由度的时滞随机拟部分可积振子在共振和非共振情形下的随机稳定性和随机分岔的一些判据.改进和推广了已有的相关结果.第五章,主要研究具有随机扰动的三类经典系统（包括二维Kolmogorov生态系统、Josephson系统和Lorenz系统）的随机分岔与混沌的复杂动力学性质.首先,应用随机Melnikov函数,获得四种不同类型随机Kolmogorov生态系统存在随机混沌的一些解析判据.其次,应用随机Melnikov函数和非光滑微分系统相关理论,给出随机Josephson系统存在随机混沌的判据.最后,基于广义随机Hamilton系统相关理论、摄动法和广义随机Melnikov函数,获得了随机Lorenz系统发生音叉分岔和存在随机混沌的定理.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 时滞随机微分动力系统的发展概况
• 1.1.1 随机微分动力系统的发展历史
• 1.1.2 时滞微分动力系统简介
• 1.1.3 时滞随机微分动力系统介绍
• 1.2 时滞随机微分动力系统的稳定性、分岔及混沌的研究进展
• 1.2.1 随机稳定性与分岔的研究进展
• 1.2.2 随机混沌的研究进展
• 1.3 本文问题产生的背景
• 1.4 预备知识
• 1.4.1 基本概念
• 1.4.2 随机平均原理
• 1.4.3 奇异边界值理论
• 1.4.4 随机Melnikov函数
• 1.5 本文的主要研究内容
• 第二章 具有时滞的二维随机微分系统的稳定性与分岔
• 2.1 随机平均方程
• 2.2 随机稳定性与随机分岔
• 2.3 应用-随机海洋结构模型
• 第三章 时滞随机拟不可积Hamilton系统的稳定性与分岔
• 3.1 具有两个不同时滞的随机Rayleigh-van der Pol振子的稳定性与分岔
• 3.2 非线性耦合时滞随机Rayleigh-van der Pol振子
• 3.2.1 随机稳定性与随机Hopf分岔（0 < δ < 1）
• 1）'>3.2.2 随机稳定性与随机Hopf分岔（δ >1）
• 第四章 时滞随机拟可积和拟部分可积Hamilton系统的稳定性与分岔
• 4.1 具有时滞的随机Duffing-van der Pol振子的稳定性与分岔
• 4.2 具有四个自由度的时滞随机拟部分可积Hamilton系统
• 4.2.1 非内共振情形下随机稳定性与随机分岔
• 4.2.2 主共振情形下随机稳定性与随机分岔
• 第五章 随机扰动下三类经典系统的混沌
• 5.1 随机扰动下二维生态系统的混沌
• 5.1.1 Kolmogorov生态系统混沌的存在性
• 5.1.2 捕食-食饵生态系统混沌的存在性
• 5.2 随机扰动下Josephson系统的混沌
• 5.3 随机扰动下Lorenz系统的分岔与混沌
• 5.3.1 Lorenz系统的分岔
• 5.3.2 Lorenz系统混沌的存在性
• 研究展望
• 参考文献
• 攻读博士学位期间的研究成果
• 致谢