局部Lagrange数值微分法研究

论文摘要

本文主要研究有关局部Lagrange数值微分法的一些关键性的理论问题：公式的显式表示，余项的渐近估计，以及在插值数据有扰动的情况下，局部Lagrange数值微分法的最大逼近阶。 Lagrange数值微分法即为求导Lagrange插值多项式 L（t）：=L（t；f，Tn）：=sum from j=0 to n lj（t）f（tj）=f（t）-R（t）得到的逼近导数的方法，这里Tn={t0，t1…，tn)是一组互不相等的节点，而 ω（t）：=multiply from i=0 to n（t-ti），lj（t）：=（ω（t）／（t-tj）ω′（tj））在以前，对于Lagrange插值，函数逼近论学者和计算数学学者有着迥然不同的理解。前者看插值的收敛过程是指插值次数n趋向于无穷时的极限过程，但在后者看来，插值的收敛过程是指插值节点的间距h趋向于零的极限过程，鉴于此，不妨称前一过程为整体的Lagrange插值，而把后一过程称作局部的Lagrange插值。 本文利用对称置换群的循环指标多项式将Lagrange数值微分公式Lk显式地表示出来，而作为基于Lagrange插值的一种方法，Lagrange数值微分法也有整体与局部之别，至于整体Lagrange数值微分公式的余项估计问题已被人解决，而本文则给出了局部Lagrange数值微分公式的余项估计，这里尤其需要注意的是ωk（x）=0时的情形，因为在整体Lagrange数值微分法中是不存在这种情况的，之后，同样利用循环指标多项式可给出局部Lagrange数值微分公式余项的显式表达式．这样，就得到了一个包含计算公式和余项表达的完整的局部Lagrange数值微分公式． 在现实中使用局部Lagrange数值微分法时，还需要考虑到这样的情况：通常用来作插值的数据f（ti）（i=0，1，…，n）不免会有误差，如果这些误差均不超

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 目录
• 第一章 绪论
• 1.1 Lagrange插值
• 1.2 数值微分法
• 1.2.1 研究现状
• 1.2.2 问题的提出
• 第二章 Lagrange数值微分法
• 2.1 Lagrange数值微分法的稳定逼近
• 2.1.1 Lagrange数值微分公式的余项
• 2.1.2 余项的局部估计
• 2.1.3 稳定的Lagrange数值微分法及其最高逼近阶
• 2.2 一般节点组下的Lagrange数值微分法
• 2.2.1 一些引理
• 2.2.2 主要结论
• 第三章 局部Lagrange数值微分法的显式表示
• 3.1 关于组合分析的预备知识
• 3.1.1 正整数的分拆
• 3.1.2 发生函数Bell多项式
• 3.1.3 循环指标多项式
• 3.2 Faà di Bruno公式
• 3.2.1 概述
• 3.2.2 Faà di Bruno公式的差商形式
• 3.3 显式表示的数值微分公式
• 3.3.1 系数的显式表示
• 3.3.2 局部数值微分公式
• 3.4 数值例子
• 附录A 在某些节点处的Lebesgue函数值
• 附录B Lagrange数值微分公式
• 参考文献
• 发表文章目录
• 致谢