一类延迟微分方程的Hopf分支分析

论文摘要

本文主要研究了一类具有双时滞的捕食与被捕食系统的Hopf分支的性质。证明了该捕食与被捕食系统的精确解和数值解的Hopf分支的存在性,并且分析了在以上两种情况下的Hopf分支的分支方向以及周期解的稳定性。首先,我们介绍了一般延迟微分方程的精确解和数值解的Hopf分支理论,其中包括分支的存在性,分支方向以及周期解的稳定性等内容。并且简单介绍了常用的应用于延迟微分方程的数值方法。然后,研究了一类具有双时滞的捕食与被捕食系统。我们证明了该系统的平衡点的稳定性以及Hopf分支的存在性。并且,利用中心流形定理和规范型理论研究了Hopf分支的性质,其中包括分支的方向和周期解的稳定性。最后,我们将θ= 0时的θ-方法（即欧拉方法）应用于具有双时滞的捕食与被捕食系统中,经过计算得到它的特征方程,通过对特征方程的根的分布情况的讨论,给出了系统数值解的稳定区域,再利用已知的定理证明了延迟微分方程离散化系统的数值Hopf分支的存在性,在取步长为h = 1m时,证明了对在点τ*处产生Hopf分支的上述捕食与被捕食系统使用欧拉法后的离散化系统在τ*附近也会产生Hopf分支。进而给出了周期解的稳定性和数值分支方向的决定参数,从而证明了欧拉法对延迟微分方程Hopf分支的保持性。并且给出了相应的数值模拟算例来验证前面的理论结果。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 课题背景与文献综述
• 1.2 文章的主要内容与主要结构
• 第2章 基本理论知识的介绍
• 2.1 延迟微分系统一般理论
• 2.1.1 自治延迟微分方程
• 2.1.2 初值问题的解的存在唯一性
• 2.2 延迟微分系统的Hopf分支理论
• 2.3 离散动力系统的Hopf分支理论
• 2.4 延迟微分方程的数值处理方法
• 2.5 二元解析方程的局部解
• 2.5.1 局部解的解析性
• 2.5.2 牛顿图法
• 2.6 稳定区域与根轨迹法
• 2.6.1 解析解的稳定区域及根轨迹法
• 2.6.2 数值解的稳定区域
• 2.7 本章小结
• 第3章 一类双时滞的捕食与被捕食系统的Hopf分支
• 3.1 捕食与被捕食系统的解的稳定性研究
• 3.1.1 捕食与被捕食系统的非零平衡点的稳定性和Hopf分支存在性
• 3.1.2 解的稳定区域
• 3.2 Hopf分支方向及分支周期解的稳定性
• 3.3 本章小结
• 第4章 一类捕食与被捕食系统的数值Hopf分支分析
• 4.1 一类具双时滞的捕食与被捕食系统的数值处理
• 4.2 数值Hopf分支与线性稳定性分析
• 4.2.1 数值Hopf分支的存在性
• 4.2.2 欧拉法的数值稳定区域分析
• 4.3 数值Hopf分支的分支方向和周期解的稳定性
• 4.4 数值算例
• 4.5 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 致谢