非线性抛物型H-半变分不等式的齐次化

论文摘要

由于新的、有效的数学工具在不等式问题领域中的应用,或者更广泛地在非光滑的力学领域中的应用,使得数学、力学和工程科学中的不等式问题在较短的时间内,已经获得了很大的发展,从而大大促进了科学思想和科学方法的发展.科学家们将不等式问题分成两个主要的方向,一个是变分不等式,关于变分不等式,人们对它已有近四十五年的研究,它是和凸的能量函数联系在一起的;另一个则是H-半变分不等式（Hemivariational inequality）,相对于变分不等式来,H-半变分不等式就要年轻多了,从它的出现到现在仅仅二十五年左右,它是和非凸的能量函数联系在一起的.对于力学和工程学科中的许多实际问题,它们的边值条件是往往是多值的且非单调的,此时用凸分析的方法来解决这些问题已是不可能了,经过大量的思考和研究,人们就考虑用具有Lipschitz性质的函数的Clarke次微分形式来表示边值条件,这样形成的不等式问题就叫H-半变分不等式,H-半变分不等式的出现为我们解决了许多实际的工程问题,也使我们对于那些不可求解或者只能部分求解的问题得以求解.而在许多物理学问题中,人们不得不去考虑方程系数具有高度振荡性的边值问题,这是由于所考虑的媒介的材质是具有周期性性质的.人们一般都采用齐次化的数学理论对这些具有周期性结构材质的问题进行讨论和研究.齐次化最常见的理论就是H-收敛准则,它是人们在G-收敛准则的基础上提出来的.本文主要分别讨论了两类非线性抛物型H-半变分不等式的解及其齐次性.其一,证明了有限维空间中的单值非线性抛物型H-半变分不等式解的存在性、唯一性,并应用抛物型G-收敛准则研究了此类H-半变分不等式解序列的收敛行为;其二,考虑的是多值非线性抛物型H-半变分不等式解的存在唯一情形,对于多值的情况我们采用的是椭圆G-收敛准则去研究变分不等式解序列的极限行为也即不等式的齐次性.

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 研究意义及目的
• 1.2 研究背景
• 1.2.1 变分问题及变分法
• 1.2.2 H-半变分不等式的形成
• 1.3 本文研究内容
• 第二章 非线性单值抛物型H-半变分不等式解的存在唯一性
• 2.1 引言
• 2.1.1 单值抛物型H-半变分不等式
• 2.1.2 研究方法
• 2.2 符号说明与辅助引理
• 2.2.1 符号说明
• 2.2.2 相关定义与辅助引理
• 2.3 单值抛物型H-半变分不等式解的存在性和唯一性证明
• 2.3.1 H-半变分不等式系数的假设条件
• 2.3.2 不等式系数算子的性质
• 2.3.3 解的先验估计
• 2.3.4 解的存在性定理及证明
• 2.3.5 解的唯一性定理及证明
• 2.3.6 典型例题
• 第三章 非线性单值抛物型H-半变分不等式的齐次化
• 3.1 引言
• 3.1.1 齐次化研究的对象
• 3.1.2 齐次化研究的方法及结论
• 3.2 假设与辅助引理
• 3.2.1 PG-收敛的介绍
• 3.2.2 抛物问题的相容引理
• 3.2.3 PG-收敛及相关引理
• 3.3 H-半变分不等式的PG-收敛
• 3.3.1 解序列的估计定理
• 3.3.2 齐次化定理及证明
• 3.3.3 抛物型H-半变分不等式的齐次化推论
• 第四章 多值抛物型H-半变分不等式解的存在唯一性和齐次性
• 4.1 引言
• 4.1.1 多值的研究对象及方法
• 4.1.2 研究的主要结论
• 4.2 假设与辅助引理
• 4.2.1 多值算子的介绍
• 4.2.2 符号与假设的引入
• 4.2.3 G-收敛及相关定义与引理
• 4.3 多值抛物型H-半变分不等式解的存在性和唯一性
• 4.3.1 多值系数算子的处理
• 4.3.2 算子j的假设与性质
• 4.3.3 多值算子与解的两个估计式
• 4.3.4 解的存在唯一性定理
• 4.3.5 解的唯一性证明
• 4.3.6 解的存在性证明
• 4.4 多值抛物型H-半变分不等式解的收敛现象
• 4.4.1 多值抛物型H-半变分不等式序列
• 4.4.2 广义相容性引理及证明
• 4.4.3 抛物型发展包含的收敛定理及证明
• 4.4.4 多值H-半变分不等式的齐次性定理及证明
• 第五章 结论与展望
• 5.1 主要结论
• 5.2 建议与展望
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间主要的研究成果