关于投影，广义逆与效应代数的研究

论文摘要

投影，广义逆与效应代数是近年来算子论中最活跃的研究课题之一，在算子论的研究中有着重要的理论价值和应用价值。对它们的研究涉及到基础数学与应用数学的许多分支，诸如代数学、几何理论、算子扰动理论、矩阵理论、逼近论，优化理论与量子物理等，通过对它们的研究可使算子结构的内在关系变得更加清晰，更使得有关算子论课题的研究具有更坚实的理论基础。本文研究内容涉及Hilbert空间中的两个子空间的公共补、Hilbert空间中投影算子的Moore-Penrose逆及Drazin逆，Hilbert空间中量子效应的分解和量子效应的下确界三个方面的内容。在投影、广义逆方面，给出了Hilbert空间中投影算子的几何表示以及两个投影的和与积的Moore-Penrose逆的表示，得到了算子Drazin逆的表示以及Drazin逆的约化最小模的估计。在效应代数方面，研究了Hilbert空间中量子效应的分解和量子效应的下确界。对下确界给出了一个明确的刻划，完全回答了下确界存在的一个公开问题，全文共分五章： 第一章运用空间分解理论、分块算子矩阵技巧，系统地研究了两个闭子空间的公共补问题，并给出了两个闭子空间对应的正交投影的算子矩阵表示。利用这个表示，给出公共补定理及Groβ问题的构造性证明，并回答了Groβ提出的问题。这种从算子几何结构出发的证明不仅使证明更加清晰，还能使我们清楚地获得两个子空间之间精细的几何关系。 第二章研究无限维Hilbert空间中幂等算子的性质。运用第一章得到正交投影的算子矩阵表示，深入研究Hilbert空间中两个子空间的gap和两个子空间的conorm特征，给出了两个子空间之间的夹角的余弦和两个子空间之间最小间隙的一个新的表示。在分析了幂等元的分块矩阵的精细表示之后，给出了当系数之和非零时，两个幂等算子的线性组合的可逆性和线性组合的值域的闭性与系数的关系。 第三章重点研究了定义在Hilbert空间中算子的Moore-Penrose逆，得到了两个投影算子和与差的Moore-Penrose逆的表达式。利用分块算子矩阵的技巧、以极分解为工具，给出了算子的{1}-，{2}-，{3}-和{4}-的具体表达式。 第四章致力于定义在Hilbert空间上算子Drazin逆的研究。用分块算子矩阵和解算子方程的方法，给出了Hilbert空间上Drazin逆的表示。借助于矩阵理论、算子指标理论及谱理论，讨论了Drazin可逆算子的Drazin逆的约化最小模上下界及算子Drazin逆的约化最小模与算子的约化最小模之间的关系。并利用两个子空间gap函数的有关表示性质，给出了算子Drazin逆连续的等价条件。

论文目录

• 前言
• 第一章 两个子空间的公共补
• 1.1 公共补问题简介
• 1.2 两个子空间
• 1.3 Groβ的问题
• 1.4 两个子空间的公共补-特殊情况
• 1.5 两个子空间的公共补-一般情况
• 第二章 投影的几何结构
• 2.1 引言
• 2.2 两个子空间之间gap的一个新特征
• 2.3 两个子空间的夹角与两个子空间的最小间隙的表示
• 2.4 两个幂等算子线性组合的可逆性
• 2.5 两个幂等算子线性组合的值域的闭性
• 第三章 算子的Moore-Penrose逆
• 3.1 正交投影的积与差的Moore-Penrose逆
• 3.2 Hilbert空间中线性有界算子{1}-逆的表示
• 3.3 Hilbert空间中线性有界算子{2}-逆的表示
• 3.4 Hilbert空间中线性有界算子{3}-逆和{4}-逆的表示
• 3.5 广义n-幂等算子和超广义n-幂等算子
• 第四章 算子的Drazin逆
• 4.1 引言
• 4.2 算子Drazin逆在Hilbert空间中的表示
• 4.3 Hilbert空间中有界线性算子Drazin逆的约化最小模
• 第五章 Hilbert空间上的量子效应
• 5.1 引言
• 5.2 Hilbert空间上量子效应的因子分解
• 5.3 Hilbert空间上量子效应的下确界
• 总结
• 参考文献
• 主要符号表
• 致谢
• 攻读博士学位期间的研究成果