论文摘要
近年来，在数学、物理、化学、生物学、医学、经济学、工程学和控制论等许多科学领域出现了各种各样的非线性问题，在解决这些非线性问题的过程中，逐渐产生了现代分析数学中非常重要的方法和理论，主要包括：半序方法、拓扑度方法、锥理论和变分方法等，成为当今解决科技领域中层出不穷的非线性问题所需的富有成效的理论工具。本文主要利用锥理论在Banach空间中研究非线性微分系统边值问题的正解的存在性。有关微分方程边值问题解的存在性、正解的存在性和唯一性在二十世纪八十年代以来得到了广泛的研究（如文[27]-[31]）。在此基础上，本文更进一步研究了微分方程组边值问题解的存在性。第一章讨论了半直线上耦合系统边值问题多个正解的存在性，其中f，g∈C[R+×R+，R+]，x′（+∞）=lim x′（t），y′（+∞）=（?）y′（t），R+=[0，+∞)。在文（[7]，[8]）中Agarwal和O’Regen在[0，1]上考虑耦合系统解的存在性。在文献[17]中倪小虹用Leggett-Williams不动点定理得到三个解的存在性定理，但对于半直线上耦合系统边值问题解的存在性，据我们所知还没有人研究。因此，本章考虑了此问题，首先利用锥拉伸和锥压缩不动点定理得到至少两个解的存在性，其次利用Leggett-Williams不动点定理得到了至少有三个解的存在性结果。第二章讨论了半直线上奇异微分方程组边值问题多个正解的存在性，其中x′（+∞）=（?） x′（t），y′（+∞）=（?） y′（t），文献（[7]-[14]）讨论了有限区间上微分方程组边值问题解的存在性，文献（[16]-[17]）讨论的是半直线上奇异微分方程边值问题正解的存在性．但是至今没有见到相关文献考虑此问题，本章利用锥上的不动点理论得到多个正解的存在性结果。第三章讨论了高阶p-Laplacian算子方程组边值问题多个正解的存在性，主要针对目前对n≤3阶p-Laplacian算子边值问题研究较多（如文[19]-[22]），但对于高阶n≥3的情况研究较少，在[18]中作者考虑了高阶p-Laplacian算子方程边值问题并得到一个正解的存在性结果，本章在文献[18]-[22]的基础上进一步利用锥拉伸和锥压缩不动点理论考虑了高阶（n≥3）p-Laplacian算子方程组边值问题多个正解的存在性。第四章讨论了Banach空间中非线性奇异脉冲微分方程边值问题正解的存在性，其中θ为E中零元，f∈C[（0，1）×P＼{θ}，P]，Ik∈C[P，P]，k=1，2，…，m。近年来，奇异两点边值引起了很多学者的兴趣见（[27]-[31]），但是对于抽象空间中含脉冲的奇异边值问题正解的存在性的研究还比较少，尤其是非线性项f（t，x）关于x=θ有奇异的情况，目前尚未见到。本章通过构造一个特殊的算子，利用锥理论研究了此类问题，在不同的条件下得到一个正解及多重正解的存在性结果。